このページでは、微分に関する公式を全て整理しました。基本的な公式から、難しい公式まで59個記載しています。
重要度★★★：必ず覚える
重要度★★☆：すぐに導出できればよい
重要度★☆☆：覚える必要はないが微分できるように
導関数の定義
関数 $f(x)$ の微分（導関数）は、以下のように定義されます：
1．$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
もっと詳しく：微分係数の定義と２つの意味
べき乗の微分
$x^r$ の微分（べき乗の微分）の公式です。
2. $(x^r)’=rx^{r-1}$
特に、$r=2,3,-1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}$ の場合が頻出です。
3. $(x^2)’=2x$
4. $(x^3)’=3x^2$
5. $\left(\dfrac{1}{x}\right)’=-\dfrac{1}{x^2}$
6. $(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
7. $(\sqrt[3]{x})’=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$
もっと詳しく：
平方根を含む式の微分のやり方
三乗根、累乗根の微分
定数倍、和と差の微分公式
定数倍の微分公式です。
8．$\{kf(x)\}’=kf'(x)$
和と差の微分公式です。
9．$\{f(x)\pm g(x)\}’=f'(x)\pm g'(x)$
これらの公式は「微分の線形性」と呼ばれることもあります。
積の微分公式
積の微分公式です。数学IIIで習います。
10．$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
もっと詳しく：積の微分公式の頻出問題6問
積の微分公式を使ったいろいろな微分公式です。
11．$(xe^x)’=e^x+xe^x$
12．$(x\sin x)’=\sin x+x\cos x$
13．$(x\cos x)’=\cos x-x\sin x$
14．$(\sin x\cos x)’=\cos 2x$
もっと詳しく：
y=xe^xの微分、積分、グラフなど
xsinxの微分、グラフ、積分など
xcosxの微分、グラフ、積分など
y=sinxcosxの微分、グラフ、積分
商の微分
商の微分公式です。同じく数学IIIで習います。
15．$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
もっと詳しく：
分数関数の微分（商の微分公式）
特に、$f(x)=1$ である場合が頻出です。逆数の形の微分公式です。
16．$\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}’=-\dfrac{f'(x)}{f(x)^2}$
逆数の形の微分公式の応用例です。
17．$\left\{\dfrac{1}{\sin x}\right\}’=-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}$
18．$\left\{\dfrac{1}{\cos x}\right\}’=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
19．$\left\{\dfrac{1}{\tan x}\right\}’=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$
20．$\left\{\dfrac{1}{\log x}\right\}’=-\dfrac{1}{x(\log x)^2}$
もっと詳しく：
cosec x（=1/sin x）の微分と積分の公式
sec x（=1/cos x）の微分と積分の公式
cot x（=1/tan x）の微分と積分の公式
三角関数の微分
三角関数：サイン、コサイン、タンジェントの微分公式です。
21．$(\sin x)’=\cos x$
22．$(\cos x)’=-\sin x$
23．$(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2x}$
もっと詳しく：タンジェントの微分を3通りの方法で計算する
指数関数の微分
指数関数の微分公式です。
24．$(a^x)’=a^x\log a$
特に、$a=e$（自然対数の底）の場合が頻出です。
25．$(e^x)’=e^x$
対数関数の微分
対数関数（log）の微分公式です。
26．$(\log x)’=\dfrac{1}{x}$
絶対値つきバージョンも重要です。
27．$(\log |x|)’=\dfrac{1}{x}$
もっと詳しく：logxの微分が1/xであることの証明をていねいに
対数微分で得られる公式
両辺の対数を取ってから微分をする方法を対数微分と言います。対数微分を使えば、例えば、$y=x^x$ を微分できます。
28．$(x^x)’=x^x(1+\log x)$
もっと詳しく：y=x^xの微分とグラフ
合成関数の微分
合成関数の微分は、それぞれの関数の微分の積になります。$y$ が $u$ の関数で、$u$ が $x$ の関数のとき、以下が成立します。
29．$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$
合成関数の微分（一次関数の形）
合成関数の微分公式は、一次関数の形で使われることが多いです。
30．$\{f(Ax+B)\}’=Af'(Ax+B)$
31．$\{\sin(Ax+B)\}’=A\cos(Ax+B)$
32．$\{\cos(Ax+B)\}’=-A\sin(Ax+B)$
33．$\{\tan(Ax+B)\}’=\dfrac{A}{\cos^2(Ax+B)}$
34．$\{e^{Ax+B}\}’=Ae^{Ax+B}$
35．$\{a^{Ax+B}\}’=Aa^{Ax+B}\log a$
36．$\{\log(Ax+B)\}’=\dfrac{A}{Ax+B}$
もっと詳しく：
sin2x、cos2x、tan2xの微分
合成関数の微分（べき乗の形）
合成関数の微分公式は、べき乗の形で使われることも多いです。
37．$\{f(x)^r\}’=rf(x)^{r-1}f'(x)$
特に、$r=2$ の場合が頻出です。
38．$\{f(x)^2\}’=2f(x)f'(x)$
39．$\{\sin^2x\}’=2\sin x\cos x$
40．$\{\cos^2x\}’=-2\sin x\cos x$
41．$\{\tan^2x\}’=\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$
42．$\{(\log x)^2\}’=\dfrac{2\log x}{x}$
もっと詳しく：
sin二乗、cos二乗、tan二乗の微分
y=(logx)^2の微分、積分、グラフ
媒介変数表示された関数の微分公式
$x=f(t)$、$y=g(t)$ のように媒介変数表示された関数の微分公式です：
43．$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$
逆関数の微分公式
ある関数の微分 $\dfrac{dy}{dx}$ が分かっているとき、その逆関数の微分 $\dfrac{dx}{dy}$ を求める公式です。
44．$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$
逆関数の微分公式を使って、逆三角関数の微分を計算できます。
45．$(\mathrm{arcsin}\:x)’=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
46．$(\mathrm{arccos}\:x)’=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
47．$(\mathrm{arctan}\:x)’=\dfrac{1}{1+x^2}$
もっと詳しく：
arcsinの意味、微分、不定積分
arccosの意味、微分、不定積分
arctanの意味、微分、不定積分
アークサイン、アークコサイン、アークタンジェントの微分
双曲線関数の微分
双曲線関数 sinh、cosh、tanh は、定義を知っていれば微分は難しくありません。双曲線関数の微分公式は以下のようになります。
48．$(\sinh x)’=\cosh x$
49．$(\cosh x)’=\sinh x$
50．$(\tanh x)’=\dfrac{1}{\cosh^2 x}$
もっと詳しく：
sinhxとcoshxの微分と積分
tanhの意味、グラフ、微分、積分
さらに、逆双曲線関数の微分公式は以下のようになります。
51．$(\mathrm{sech}\:x)’=-\tanh x\:\mathrm{sech}\:x$
52．$(\mathrm{csch}\:x)’=-\mathrm{coth}\:x\:\mathrm{csch}\:x$
53．$(\mathrm{coth}\:x)’=-\mathrm{csch}^2\:x$
もっと詳しく：
sech、csch、cothの意味、微分、積分
n次導関数
$n$ 次導関数（高階導関数）を求める公式です。もとの関数 → $n$ 次導関数という形で記載しました。
54．$e^x \to e^x$
55．$a^x \to a^x(\log a)^n$
56．$\sin x \to \sin\left(x+\dfrac{n}{2}\pi\right)$
57．$\cos x \to \cos\left(x+\dfrac{n}{2}\pi\right)$
58．$\log x \to -(n-1)!(-x)^{-n}$
59．$\dfrac{1}{x} \to -n!(-x)^{-n-1}$
もっと詳しく：
いろいろな関数のn次導関数
次回は 微分係数の定義と２つの意味 を解説します。
