アークサイン、アークコサイン、アークタンジェントの微分

前置き：逆三角関数について

$\mathrm{arcsin}$ は $\sin $ の逆関数を表します。
つまり、$y=\mathrm{arcsin}(x)$ は、$x=\sin y$ を表します。
同様に、$y=\mathrm{arccos}(x)$ は $x=\cos y$、$y=\mathrm{arctan}(x)$ は $x=\tan y$ を表します。

$x$ の値を一つ決めたときに、$y$ がただ一つに決まるように、
$y=\mathrm{arcsin}(x)$ を考えるときは $-\dfrac{\pi}{2}\leq y\leq\dfrac{\pi}{2}$ と限定します。
$y=\mathrm{arccos}(x)$ を考えるときは $0\leq y\leq\pi$ と限定します。
$y=\mathrm{arctan}(x)$ を考えるときは $-\dfrac{\pi}{2}< y<\dfrac{\pi}{2}$ と限定します。

参考：
arcsinの意味、微分、不定積分
arccosの意味、微分、不定積分
arctanの意味、微分、不定積分

アークサインの微分公式の証明

$y=\mathrm{arcsin}(x)$ のとき、$x=\sin y$ です。
この両辺を $y$ で微分すると、$\dfrac{dx}{dy}=\cos y$

これと、逆関数の微分公式：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}$ より、
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y}$

一応この式でも微分完了ですが、$y$ ではなく $x$ で表してみましょう。考えている範囲では $\cos y\geq 0$ であることに注意すると、
$\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$ となります。以上をまとめると、
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ となります。

アークコサインの微分公式の証明

$y=\mathrm{arccos}(x)$ のとき、$x=\cos y$ です。
この両辺を $y$ で微分すると、$\dfrac{dx}{dy}=-\sin y$

これと、逆関数の微分公式より、
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{\sin y}$

考えている範囲では $\sin y\geq 0$ であることに注意すると、
$\sin y=\sqrt{1-\cos^2y}=\sqrt{1-x^2}$ となります。以上をまとめると、
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ となります。

アークタンジェントの微分公式の証明

$y=\mathrm{arctan}(x)$ のとき、$x=\tan y$ です。
この両辺を $y$ で微分すると、$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\cos^2y}$

これと、逆関数の微分公式より、
$\dfrac{dy}{dx}=\cos^2y$

また、$\cos^2 y=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$ となります。以上をまとめると、
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+x^2}$ となります。

アークタンジェントの微分係数は常に正です（アークタンジェントは単調増加関数ということ）。

次回は sinhxとcoshxの微分と積分 を解説します。