cosec x（=1/sin x）の微分と積分の公式

$\mathrm{cosec}\:x$ とは、$\dfrac{1}{\sin x}$ のことです。$\csc x$ と書くこともあります（コセカントエックスと読む）。

微分の証明

微分は非常に簡単です。$\dfrac{1}{f(x)}$ の微分が $-\dfrac{f'(x)}{f^2(x)}$ であることを使います（逆数の微分公式）。

$\sin x$ の微分は $\cos x$ なので、$\dfrac{1}{\sin x}$ の微分は、
$-\dfrac{(\sin x)’}{\sin^2x}\\
=-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}$

これを答えとしてもよいですし、
$-\dfrac{1}{\tan x\sin x}$ または $-\cot x\mathrm{cosec}\:x$
という形で書くこともできます。

不定積分の証明

積分の方が圧倒的に大変です。不自然な変形をする必要があります。

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\sin^2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{1-\cos^2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}dx$

ここで、
$\dfrac{1}{(1+\cos x)(1-\cos x)}\\
=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1+\cos x}+\dfrac{1}{1-\cos x}\right)$
と部分分数分解できるので、求める積分は、

$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{\sin xdx}{1+\cos x}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{\sin xdx}{1-\cos x}\\
=-\dfrac{1}{2}\log|1+\cos x|+\dfrac{1}{2}|1-\cos x|+C\\
=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C$

ただし、積分の際に、$\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$ という公式を使いました。

次回は sec x（=1/cos x）の微分と積分の公式 を解説します。