微分係数の定義と2つの意味

微分係数の定義、計算例、意味について整理しました。

微分係数の定義

まずは、微分係数の定義を確認しましょう。

関数 $f(x)$ に対して、
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
という極限が存在するとき、その値を $x=a$ における $f(x)$ の微分係数と言い、$f'(a)$ と書きます。

例題:$f(x)=x^2$ の、$x=1$ における微分係数を求めよ。

解答

$a=1$ として、
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\
=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}\\
=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{2h+h^2}{h}\\
=2$
つまり、微分係数は、$f'(1)=2$
となります。

微分係数の定義 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ は、やや複雑で分かりにくいです。具体的なイメージを理解するために、2つの説明をします。

1.接線の傾き

微分係数 $f'(a)$ は、$y=f(x)$ の $x=a$ における接線の傾きを表します。
微分係数は接線の傾き

理由を考えてみましょう。

まず「$(a,f(a))$ と $(a+h,f(a+h))$ という2点を結ぶ直線 $l$」
を考えて、$h$ をどんどん $0$ に近づけていくと、接線に限りなく近づいていきます。

接線の傾きと一致することの証明

また、$l$ の傾きは、
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
です。

よって、接線の傾きは、
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
となります。

これは微分係数 $f'(a)$ の定義と一致します!

2.瞬間の速度

時刻 $x$ における位置を $f(x)$ とします。このとき、微分係数 $f'(a)$ は、時刻 $a$ における瞬間の速度を表します。

理由を考えてみましょう。

時刻 $a$ から $a+h$ の間に移動した距離は、$f(a+h)-f(a)$ です。

よって、時刻 $a$ から $a+h$ の間の平均の速度は、移動距離÷時間なので、
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
となります。

ここで、時間 $h$ をどんどん $0$ に近づけていくと、平均の速度は時刻 $a$ における瞬間の速度に限りなく近づいていきます。

よって、時刻 $a$ における瞬間の速度は、
$\displaystyle\lim_{a\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
となります。

これは微分係数 $f'(a)$ の定義と一致します!

微分係数は、ある意味で接線の傾きであり、瞬間の速度でもあります。定義は難しそうですが、身近なものです。

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