積の微分公式の頻出問題6問

積の微分公式:
$\{f(x)g(x)\}’$$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
「片方微分、片方そのまま、を加える」

頻出の例題を10問紹介します。それぞれの関数について、リンク先でさらに詳しく解説しています。

三角関数が絡む問題

例題1:$x\sin x$ を微分せよ。

$(x\sin x)’\\
=(x)’\sin x+x(\sin x)’\\
=1\cdot \sin x+x\cdot\cos x$
$=\sin x+x\cos x$

このように、$f(x)$ と $g(x)$ の微分が分かっていれば $f(x)g(x)$ の微分も計算できます!
関連:xsinxの微分、グラフ、積分など

例題2:$x\cos x$ を微分せよ。

$(x\cos x)’\\
=(x)’\cos x+x(\cos x)’$
$=\cos x-x\sin x$
関連:xcosxの微分、グラフ、積分など

例題3:$\sin x\cos x$ を微分せよ。

$(\sin x\cos x)’\\
=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’\\
=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)$
$=\cos^2x-\sin^2x$

ちなみに、例題3は倍角の公式を使っても解けます:
関連:2倍角の公式の証明と頻出例題
関連:y=sinxcosxの微分、グラフ、積分

指数、対数が絡む問題

例題4:$xe^x$ を微分せよ。

$(xe^x)’\\
=(x)’e^x+x(e^x)’$
$=e^x+xe^x$
積の微分公式の例題として一番頻出かもしれません。
関連:y=xe^xの微分、積分、グラフなど

例題5:$x\log x$ を微分せよ。

$(x\log x)’\\
=(x)’\log x+x(\log x)’\\
=1\cdot\log x+x\cdot\dfrac{1}{x}$
$=\log x+1$

例題6:$xe^{x^2}$ を微分せよ。

合成関数の微分も同時に使う必要があります。
$(xe^{x^2})’\\
=(x)’e^{x^2}+x(e^{x^2})’\\
=e^{x^2}+xe^{x^2}\cdot 2x$
$=(1+2x^2)e^{x^2}$
関連:y=xe^x^2の積分、微分など

次:三乗根、累乗根の微分
前:関数の微分を自動で計算してくれるツール

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