sec x(=1/cos x)の微分と積分の公式

$\sec x$ とは、$\dfrac{1}{\cos x}$ のことです。

微分:
$(\sec x)’=\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)’$$=\dfrac{\sin x}{\cos^2x}$

不定積分:
$\displaystyle\int \sec xdx=\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx$$=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C$

1/cos x の微分

$\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)’=\dfrac{\sin x}{\cos^2x}$ を証明します。

$\dfrac{1}{f(x)}$ の微分が $-\dfrac{f'(x)}{f^2(x)}$ であることを使います(逆数の微分公式)。

$\cos x$ の微分は $-\sin x$ なので、$\dfrac{1}{\cos x}$ の微分は、
$-\dfrac{(\cos x)’}{\cos^2x}\\
=-\dfrac{-\sin x}{\cos^2x}\\
=\dfrac{\sin x}{\cos^2x}$

これを答えとしてもよいですし、
$\dfrac{\tan x}{\cos x}$ または $\tan x\sec x$
という形で書くこともできます。

1/cos x の積分

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C$
を証明します。微分より積分の方が圧倒的に大変です。不自然な変形をする必要があります。

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\cos x}{\cos^2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\cos x}{1-\sin^2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\cos x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx$

ここで、
$\dfrac{1}{(1+\sin x)(1-\sin x)}\\
=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1+\sin x}+\dfrac{1}{1-\sin x}\right)$
と部分分数分解できるので、求める積分は、

$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{\cos xdx}{1+\sin x}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{\cos xdx}{1-\sin x}\\
=\dfrac{1}{2}\log|1+\sin x|-\dfrac{1}{2}|1-\sin x|+C\\
=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C$

ただし、積分の際に、$\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$ という公式を使いました。

ちなみに、この積分公式を用いて、もっと難しい $\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx$ という積分を計算することもできます!→√x^2+1の積分を3ステップで分かりやすく解説

次:cot x(=1/tan x)の微分と積分の公式
前:cosec x(=1/sin x)の微分と積分の公式

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