y=sinxcosxの微分、グラフ、積分

$(\sin x\cos x)’=\cos 2x$
$\displaystyle\int \sin x\cos xdx$$=-\dfrac{1}{4}\cos 2x+C$

~目次~
・$y=\sin x\cos x$ の微分
・$y=\sin x\cos x$ のグラフ
・$y=\sin x\cos x$ の不定積分

y=sinxcosxの微分

やり方その1
積の微分公式:$(fg)’=f’g+fg’$ (→積の微分公式の頻出問題6問)を使って導関数を計算します:
$(\sin x\cos x)’\\
=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’\\
=\cos^2x-\sin^2x\\
=\cos 2x$
(最後に $\cos$ の倍角公式を用いました)
→2倍角の公式の証明と頻出例題

やり方その2
サインの倍角公式より、$\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x$
なので、これを微分すると、
$\dfrac{1}{2}\cos 2x\cdot(2x)’\\
=\cos 2x$

y=sinxcosxのグラフ

$y=\sin x\cos x$ のグラフをいきなり書くのは難しいですが、サインの倍角公式を使って、$\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x$ と変形すれば簡単にグラフを書くことができます。

sinxcosxのグラフ

$y=\dfrac{1}{2}\sin 2x$ のグラフは周期が $\pi$、振幅(最大値)が $\dfrac{1}{2}$ であることに注意すると、図のようになります。

y=sinxcosxの不定積分

積分もサインの倍角公式を使って、$\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x$ と変形すれば簡単です:

$\displaystyle\int \sin x\cos xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{2}\sin 2xdx\\
=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cos 2x+C\\
=\dfrac{1}{4}\cos 2x+C$

まとめ

$y=\sin x\cos x$ という関数が登場したときは、とりあえずサインの二倍角の公式を使って $\dfrac{1}{2}\sin 2x$ という形に変形してから考えましょう!

次:y=sinx+cosxの合成、グラフ、最大値など
前:y=x+1/xの最小値、グラフ、漸近線

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