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三乗根、累乗根の微分

最終更新日 2017/11/05

累乗根の微分公式:
xn 乗根 nx=x1n の微分は、1nx1n1

公式の覚え方、具体例

累乗根の微分は、まず、累乗根を xα という形に直した上で、指数部分を前に出して、指数部分は 1 を引くとおぼえましょう。

例えば、x の三乗根 3xx13 と直せて、その微分は
13x131=13x23
となります。

例題:x の四乗根:4x を微分せよ。

解答:4x=x14 と直せて、その微分は 14x141=14x34 です。

ちなみに、n=2 の場合は平方根を含む式の微分のやり方で詳しく解説しています。

三乗根の微分の証明

微分の定義に従って、三乗根の微分公式を導出してみましょう。

y=3x の微分は、定義より、
lim
となります。

ここで、分母分子に (\sqrt[3]{x+h})^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+(\sqrt[3]{x})^2 をかけると、(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 という展開公式により分子が綺麗になります:
\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)-x}{h\{(\sqrt[3]{x+h})^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+(\sqrt[3]{x})^2\}}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x+h})^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+(\sqrt[3]{x})^2}

分母の3つの項は、いずれも h\to 0x^{\frac{2}{3}} に収束します。よって、求める微分は \dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}

分子の有理化を行うことで、極限の計算を行いました。これはよく使うテクニックです。

一般的な公式を導出する

より一般に、y=x^{\alpha} の微分が \alpha x^{\alpha-1} になることを証明します。(\alpha=\dfrac{1}{n} の場合が冒頭の公式です)

一般の場合には、分子を有理化するテクニックではうまくいきません。対数微分法という技を使います。

まず y=x^{\alpha} の両辺の対数を取ると、\log y=\alpha \log x

この両辺を x で微分すると、
\dfrac{y’}{y}=\dfrac{\alpha}{x}

よって、
y’=y\dfrac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}

次回は logxの微分が1/xであることの証明をていねいに を解説します。

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