sech、csch、cothの意味、微分、積分

読み方

$\mathrm{sech}\:x$：ハイパボリックセカント

$\mathrm{csch}\:x$：ハイパボリックコセカント、$\mathrm{cosech}\:x$ と書くこともあります。

$\mathrm{coth}\:x$：ハイパボリックコタンジェント

微分

分数関数の微分（商の微分公式）を使って計算していきましょう。

$(\mathrm{sech}\:x)’\\
=-\dfrac{2(e^x+e^{-x})’}{(e^x+e^{-x})^2}\\
=-\dfrac{2(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$
$=-\tanh x\:\mathrm{sech}\:x$

$(\mathrm{csch}\:x)’\\
=-\dfrac{2(e^x-e^{-x})’}{(e^x-e^{-x})^2}\\
=-\dfrac{2(e^x+e^{-x})}{(e^x-e^{-x})^2}$
$=-\mathrm{coth}\:x\:\mathrm{csch}\:x$

$(\mathrm{coth}\:x)’\\
=\dfrac{(e^x-e^{-x})^2-(e^x+e^{-x})^2}{(e^x-e^{-x})^2}\\
=\dfrac{-4}{(e^x-e^{-x})^2}$
$=-\mathrm{csch}^2\:x$

sech の不定積分

前提知識：arctanの意味

$\displaystyle\int\mathrm{sech}\:xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{2e^x}{e^{2x}+1}dx$

$e^x=t$ と置換します、$\dfrac{dt}{dx}=e^x=t$ より、
$\displaystyle\int\dfrac{2t}{t^2+1}\cdot\dfrac{1}{t}dt\\
=\displaystyle\int\dfrac{2}{t^2+1}dt$

さらに、$t=\tan u$ と置換します、$\dfrac{dt}{du}=\dfrac{1}{\cos^2u}=1+t^2$ より、
$\displaystyle\int 2du\\
=2u+C\\
=2\mathrm{arctan}\:t+C$
$=2\mathrm{arctan}\:(e^x)+C$

csch の不定積分

$\displaystyle\int\mathrm{csch}\:xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{2}{e^x-e^{-x}}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{2e^x}{e^{2x}-1}dx$

$e^x=t$ と置換します、$\dfrac{dt}{dx}=e^x=t$ より、：
$\displaystyle\int\dfrac{2t}{t^2-1}\cdot\dfrac{1}{t}dt\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{t-1}dt-\displaystyle\int\dfrac{1}{t+1}dt\\
=\log|t-1|-\log|t+1|+C$
$=\log\left|\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right|+C$
（さらに変形して $\log(\tanh \frac{x}{2})+C$ としてもよいです）

coth の不定積分

$\displaystyle\int\mathrm{coth}\:xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{(e^x-e^{-x})’}{e^x-e^{-x}}dx$
$=\log|e^x-e^{-x}|+C$
（$\log|\sinh x|+C$ としてもよいです）

次回は cosec x（=1/sin x）の微分と積分の公式 を解説します。