sin2x、cos2x、tan2xの微分

$\sin 2x$ の微分は、$2\cos 2x$

$\cos 2x$ の微分は、$-2\sin 2x$

$\tan 2x$ の微分は、$\dfrac{2}{\cos^2(2x)}$

証明1

合成関数の微分を知っている人向けの簡潔な証明です。末尾に $2x$ の微分が付くのがポイントです。

$(\sin 2x)’=(\cos 2x)\cdot (2x)’\\=2\cos 2x$

$(\cos 2x)’=(-\sin 2x)\cdot (2x)’\\=-2\sin 2x$

$(\tan 2x)’=\dfrac{1}{\cos^2(2x)}\cdot (2x)’\\=\dfrac{2}{\cos^2(2x)}$

証明2

次は、合成関数の微分を知らない人にも分かるように、丁寧に説明します。

$\sin 2x$ の微分
まず、$\sin 2x$ の微分 $\dfrac{d(\sin 2x)}{dx}$ について考えます。$\sin x$ の微分は $\cos x$ なので、$\sin 2x$ の微分は $\cos 2x$ と答えたくなりますが、我慢です。

$2x=u$ と置くと、求めたい微分は、$\dfrac{d(\sin u)}{dx}$ となります。
これを、$\dfrac{du}{dx}\cdot\dfrac{d(\sin u)}{du}$ と変形してみます。$\sin u$ を $u$ で微分したものは、$\dfrac{d(\sin u)}{du}=\cos u$ です。また、$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(2x)=2$ です。
よって、求めたい微分は、$2\cdot\cos u=2\cos 2x$ となります。

$\cos 2x$ の微分
次に、$\cos 2x$ の微分 $\dfrac{d(\cos 2x)}{dx}$ について考えます。$2x=u$ と置くと、求めたい微分は、$\dfrac{d(\cos u)}{dx}$ です。
これを、$\dfrac{du}{dx}\cdot\dfrac{d(\cos u)}{du}$ と変形します。$\cos u$ を $u$ で微分すると、$-\sin u$ です。また、$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(2x)=2$ です。

よって、求めたい微分は、$2\cdot(-\sin u)=-2\sin 2x$ となります。

$\tan 2x$ の微分
次に、$\tan 2x$ の微分 $\dfrac{d(\tan 2x)}{dx}$ について考えます。$2x=u$ と置くと、求めたい微分は、$\dfrac{d(\tan u)}{dx}$ です。
これを、$\dfrac{du}{dx}\cdot\dfrac{d(\tan u)}{du}$ と変形します。$\tan u$ を $u$ で微分すると、$\dfrac{1}{\cos^2u}$ です。また、$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(2x)=2$ です。

よって、求めたい微分は、$2\cdot\left(\dfrac{1}{\cos^2u}\right)=\dfrac{2}{\cos^2(2x)}$ となります。

一般化

より一般に、

$\sin ax$ の微分は、$a\cos ax$
$\cos ax$ の微分は、$-a\sin ax$
$\tan ax$ の微分は、$\dfrac{a}{\cos^2(ax)}$

となります。例えば、$\sin 3x$ の微分は $3\cos 3x$ となり、$\cos 3x$ の微分は $-3\sin 3x$ という感じです。

次回は sin二乗、cos二乗、tan二乗の微分 を解説します。

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