三角関数の積分公式のリスト

三角関数に関する積分公式をまとめました。基本的には高校数学の内容ですが、一部高校数学範囲外の内容を含みます。

$C$ は積分定数とします。

基本的な公式

最も基本的な公式:
$\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$
$\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$

合成関数の微分と組合せたもの:
$\displaystyle\int\sin(ax+b)dx=-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)+C$
$\displaystyle\int\cos(ax+b)dx=\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+C$

tan に関係する公式

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}dx=-\dfrac{1}{\tan x}+C$
公式の証明

$\displaystyle\int\tan xdx=-\log|\cos x|+C$

二乗の積分

$\displaystyle\int\sin^2xdx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
$\displaystyle\int\cos^2xdx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
$\displaystyle\int\tan^2xdx=\tan x-x+C$
公式の証明

三乗の積分

$\displaystyle\int\sin^3xdx=\dfrac{1}{3}\cos^3x-\cos x+C$
$\displaystyle\int\cos^3xdx=-\dfrac{1}{3}\sin^3x+\sin x+C$
$\displaystyle\int\tan^3xdx$$=\log|\cos x|+\dfrac{1}{2\cos^2x}+C$
公式の証明($\sin^3x,\cos^3x$)
公式の証明($\tan^3x$)

四乗の積分

$\displaystyle\int\sin^4xdx\\=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{32}\sin 4x+C$

$\displaystyle\int\cos^4xdx\\=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{32}\sin 4x+C$
公式の証明

他の関数との積

$\displaystyle\int x\sin xdx$$=-x\cos x+\sin x+C$
公式の証明

$\displaystyle\int x\cos xdx$$=x\sin x+\cos x+C$
公式の証明

$\displaystyle\int e^x\sin xdx$$=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$
$\displaystyle\int e^x\cos xdx$$=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$
公式の証明

三角関数の逆数

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C$
公式の証明

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C$
公式の証明

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\tan x}dx=\log|\sin x|+C$
公式の証明

逆三角関数

$\displaystyle\int \mathrm{arcsin}\:xdx\\
=x\mathrm{arcsin}\:x+\sqrt{1-x^2}+C$
公式の証明

$\displaystyle\int \mathrm{arccos}\:xdx\\
=x\mathrm{arccos}\:x-\sqrt{1-x^2}+C$
公式の証明

$\displaystyle\int \mathrm{arctan}\:xdx\\
=x\mathrm{arctan}\:x-\dfrac{1}{2}\log(1+x^2)+C$
公式の証明

次:部分積分の重要な問題7問+α
前:積分定数Cの意味を分かりやすく説明

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