部分積分の重要な問題7問+α

部分積分:
$\displaystyle\int fg dx =fg^*-\displaystyle\int f’g^*dx$
($f’$ は $f$ の微分、$g^*$ は $g$ の積分)
「かけ算の積分は、片方微分、片方積分して簡単な積分に帰着させる」

部分積分を用いる不定積分の計算問題をたくさん紹介します。

簡単な例題

例題1:$\displaystyle\int xe^xdx$ を計算せよ。

$\displaystyle\int xe^xdx\\
=xe^x-\displaystyle\int 1\cdot e^xdx\\
=xe^x-e^x+C$
関連:y=xe^xの微分、積分、グラフなど
関連:xe^{-x}の不定積分と広義積分

例題2:$\displaystyle\int x\sin xdx$ を計算せよ。

$\displaystyle\int x\sin xdx\\
=x(-\cos x)-\displaystyle\int 1\cdot(-\cos x)dx\\
=-x\cos x+\sin x+C$
関連:xsinxの微分、グラフ、積分など

例題3:$\displaystyle\int x\cos xdx$ を計算せよ。

$\displaystyle\int x\cos xdx\\
=x(\sin x)-\displaystyle\int 1\cdot(\sin x)dx\\
=x\sin x+\cos x+C$
関連:xcosxの微分、グラフ、積分など

対数が絡む積分

例題4:$\displaystyle\int \log xdx$ を計算せよ。

$\log x=(\log x)\cdot 1$ と見て部分積分を使います。
$\displaystyle\int\log xdx\\
=x\log x-\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\cdot xdx\\
=x\log x-x+C$
関連:logx、xlogx、logx/x、1/xlogxの積分

例題5:$\displaystyle\int (\log x)^2dx$ を計算せよ。

部分積分を2回使うことで、
$\displaystyle\int(\log x)^2=$$x(\log x)^2-2x\log x+2x+C$
が分かります。詳細はy=(logx)^2の微分、積分、グラフを参照してください。

指数×三角関数の積分

例題6:$\displaystyle\int e^x\sin xdx$ を計算せよ。
例題7:$\displaystyle\int e^x\cos xdx$ を計算せよ。

求めたい積分を $I$ とおき、部分積分を2回使って $I$ に関する方程式を導きます。答えは
$\displaystyle\int e^x\sin xdx$$=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$
$\displaystyle\int e^x\cos xdx$$=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$
です。詳細はe^xsinxとe^xcosxの積分公式を参照してください。

高校数学範囲外の積分

例題8:$\displaystyle\int\mathrm{arcsin}\:xdx$ を計算せよ。

答えは、$x\mathrm{arcsin}\:x+\sqrt{1-x^2}+C$ です。
詳細はarcsinの意味、微分、不定積分の後半を参照してください。

例題9:$\displaystyle\int\mathrm{arccos}\:xdx$ を計算せよ。

答えは、$x\mathrm{arccos}\:x-\sqrt{1-x^2}+C$ です。
詳細はarccosの意味、微分、不定積分の後半を参照してください。

例題10:$\displaystyle\int\mathrm{arctan}\:xdx$ を計算せよ。

答えは、$x\mathrm{arctan}\:x-\dfrac{1}{2}\log(1+x^2)+C$ です。
詳細はarctanの意味、微分、不定積分の後半を参照してください。

例題11:$\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx$ を計算せよ。

相当難しいです。答えは√x^2+1の積分を3ステップで分かりやすく解説を参照してください。

次:1/xの積分公式の証明、絶対値がつく理由
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