sin^3x、cos^3xの積分

$\displaystyle\int\sin^3xdx=\dfrac{1}{3}\cos^3x-\cos x+C$
$\displaystyle\int\cos^3xdx=-\dfrac{1}{3}\sin^3x+\sin x+C$

~目次~
・サイン3乗の不定積分
・コサイン3乗の不定積分
・三倍角の公式を使う方法

サイン3乗の不定積分

$\displaystyle\int \sin^3xdx\\
=\displaystyle\int\sin^2x\sin xdx\\
=\displaystyle\int (1-\cos^2x)\sin xdx$

ここで、$\cos x=u$ と置換すると、$\dfrac{du}{dx}=-\sin x$、つまり $\sin xdx=-du$ なので、上式は、
$\displaystyle\int (1-u^2)(-1)du\\
=\displaystyle\int(u^2-1)du\\
=\dfrac{u^3}{3}-u+C$

最後に $u$ を $x$ に戻すと、
$\dfrac{1}{3}\cos^3x-\cos x+C$
となります。

ちなみに、二乗についてはsin^2x、cos^2x、tan^2xの積分で解説しています。

コサイン3乗の不定積分

$\displaystyle\int \cos^3xdx\\
=\displaystyle\int\cos^2x\cos xdx\\
=\displaystyle\int (1-\sin^2x)\cos xdx$

ここで、$\sin x=u$ と置換すると、$\dfrac{du}{dx}=\cos x$、つまり $\cos xdx=du$ なので、上式は、
$\displaystyle\int (1-u^2)du\\
=-\dfrac{u^3}{3}+u+C$

最後に $u$ を $x$ に戻すと、
$-\dfrac{1}{3}\sin^3x+\sin x+C$
となります。

三倍角の公式を使う方法

三倍角の公式:$\sin 3x=-4\sin^3x+3\sin x$
→sin、cos、tanの三倍角の公式の2通りの証明
を用いて積分することもできます。

三倍角の公式を移項すると、$\sin^3x=\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{1}{4}\sin 3x$ なので、
$\displaystyle\int \sin^3xdx\\
=\displaystyle\int \dfrac{3}{4}\sin xdx-\displaystyle\int\dfrac{1}{4}\sin 3xdx$
$=-\dfrac{3}{4}\cos x+\dfrac{1}{12}\cos 3x+C$
となります。

ちなみに、この結果の式を コサインの三倍角の公式:$\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x$ を用いて変形すると、
$-\dfrac{3}{4}\cos x+\dfrac{1}{12}\cdot 4\cos^3x$$-\dfrac{1}{12}\cdot 3\cos x$
$=-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x$
となり、冒頭の結果と同じであることが分かります。

また、$\displaystyle\cos^3xdx$ も同様に三倍角の公式を使って計算することもできます。やってみてください。

次:sin^4x、cos^4xの積分
前:sin^2x、cos^2x、tan^2xの積分

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