sin^2x、cos^2x、tan^2xの積分

$\displaystyle\int\sin^2xdx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
$\displaystyle\int\cos^2xdx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
$\displaystyle\int\tan^2xdx=\tan x-x+C$

サイン二乗の積分のやり方

$\displaystyle\int\sin^2xdx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
を証明します。

半角の公式:$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$
→半角の公式(覚え方、導出、使い方)
を使います。

具体的には、半角の公式で $\dfrac{\theta}{2}=x$ とおくことで、
$\displaystyle\int\sin^2 xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{2}dx-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\cos 2xdx\\
=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
と計算できます。

コサイン二乗の積分のやり方

$\displaystyle\int\cos^2xdx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
を証明します。

半角の公式:$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$ を使います。

サインの場合と同様に、半角の公式で $\dfrac{\theta}{2}=x$ とおくことで、
$\displaystyle\int\cos^2 xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1+\cos 2x}{2}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{2}dx+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\cos 2xdx\\
=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$
と計算できます。

ちなみに、ここまでの2つの結果から、$\displaystyle\int\sin^2xdx+\displaystyle\int\cos^2xdx=x+C$
となっていることも確認できます。これは $\sin^2x+\cos^2x=1$ からも分かります。

~関連公式~
sin^3x、cos^3xの積分
sin^4x、cos^4xの積分

タンジェント二乗の積分のやり方

$\displaystyle\int\tan^2xdx=\tan x-x+C$
を証明します。

三角関数の相互関係:
$1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$
を使います。

この公式より、
$\displaystyle\int\tan^2xdx\\
=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\
=\tan x-x+C$
と計算できます。

ただし、$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x$ であることを使いました。

次:sin^3x、cos^3xの積分
前:ルートxを含む式の積分公式

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