tanx、tan^2x、tan^3xの不定積分

tan xの不定積分

$\displaystyle\int\tan xdx=\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos x}dx\\
=-\displaystyle\int\dfrac{(\cos x)’}{\cos x}dx$

となります。ここで、 $\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$ という公式を使うと、上の積分は
$-\log |\cos x|+C$ となることが分かります。

ちなみに、これと全く同じ方法で $\dfrac{1}{\tan x}$ の積分も計算することができます。→cot x（=1/tan x）の微分と積分の公式

tan^2xの不定積分

$\displaystyle\int \tan^2xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1-\cos^2x}{\cos^2x}dx\\
=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx$

となります。ここで、$\tan x$ の微分が $\dfrac{1}{\cos^2x}$ であることを使うと、上の不定積分は
$\tan x-x+C$
となることが分かります。

tan^3xの不定積分

～やり方その１～
置換積分を使います。
$\displaystyle\int\tan^3xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^3x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{(1-\cos^2x)}{\cos^3x}\sin xdx$
となります。ここで、$\cos x=t$ と置換すると、$\dfrac{dt}{dx}=-\sin x$ なので、上の積分は、
$\displaystyle\int\dfrac{1-t^2}{t^3}(-1)dt\\
=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^3}\right)dt\\
=\log |t|+\dfrac{1}{2t^2}+C$
$=\log |\cos x|+\dfrac{1}{2\cos^2 x}+C$

ちなみに、$1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ であるので（積分定数の任意性を利用すると）
$\log |\cos x|+\dfrac{1}{2}\tan^2x+C$ を答えとしても構いません。

～やり方その２～
$\displaystyle\int\tan^3xdx\\
=\displaystyle\int\tan^2x\tan xdx\\
=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)\tan xdx\\
=\displaystyle\int\left(\dfrac{\tan x}{\cos^2x}-\tan x\right)dx\\
=\dfrac{1}{2}\tan^2x+\log|\cos x|+C$

次回は 2^xや3^xの微分と積分 を解説します。