e^xsinxとe^xcosxの積分公式

積分に必要な前提知識

基本的な関数の微分、積分：
$\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$
$(\sin x)’=\cos x$
$(\cos x)’=-\sin x$

部分積分：
$\displaystyle\int f(x)g(x)dx$$=f^*(x)g(x)-\displaystyle\int f^*(x)g'(x)dx$
（ただし、$f^*$ は $f$ の積分）
部分積分について、基本的な使い方やコツを分かりやすく解説

$e^x\sin x$ の不定積分

部分積分を2回使って計算します。なお、途中式では積分定数 $C$ を省略しています。

$I=\displaystyle\int e^x\sin xdx$ と置きます。

部分積分を使う（$e^x$ を積分、$\sin x$ を微分）と、
$I=\displaystyle\int e^x\sin xdx\\
=e^x\sin x-\displaystyle\int e^x\cos xdx$

もう一度部分積分を使うと、上式は、
$e^x\sin x$$-e^x\cos x+\displaystyle\int e^x(-\sin x)dx$
$=e^x\sin x-e^x\cos x-I$
となります。

よって、$I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$ です。
これを移項して整理すると、
$2I=e^x\sin x-e^x\cos x$
$I=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$

$e^x\cos x$ の不定積分

$e^x\sin x$ の積分とやり方はほとんど同じです。

$J=\displaystyle\int e^x\cos xdx$ と置きます。

部分積分を使う（$e^x$ を積分、$\cos x$ を微分）と、
$J=\displaystyle\int e^x\cos xdx\\
=e^x\cos x-\displaystyle\int e^x(-\sin x)dx\\
=e^x\cos x+\displaystyle\int e^x\sin xdx$

もう一度部分積分を使うと、上式は、
$e^x\cos x$$+e^x\sin x-\displaystyle\int e^x\cos xdx$
$=e^x\cos x+e^x\sin x-J$
となります。

よって、$J=e^x\cos x+e^x\sin x-J$ です。
これを移項して整理すると、
$2J=e^x\sin x+e^x\cos x$
$J=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$

次回は y=xe^x^2の積分、微分など を解説します。