e^xsinxとe^xcosxの積分公式

$\displaystyle\int e^x\sin xdx$$=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$
$\displaystyle\int e^x\cos xdx$$=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$

~目次~
・積分に必要な前提知識
・$e^x\sin x$ の不定積分
・$e^x\cos x$ の不定積分

積分に必要な前提知識

基本的な関数の微分、積分:
$\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$
$(\sin x)’=\cos x$
$(\cos x)’=-\sin x$

部分積分:
$\displaystyle\int f(x)g(x)dx$$=f^*(x)g(x)-\displaystyle\int f^*(x)g'(x)dx$
(ただし、$f^*$ は $f$ の積分)
→部分積分の重要な問題7問+α

$e^x\sin x$ の不定積分

部分積分を2回使って計算します。なお、途中式では積分定数 $C$ を省略しています。

$I=\displaystyle\int e^x\sin xdx$ と置きます。

部分積分を使う($e^x$ を積分、$\sin x$ を微分)と、
$I=\displaystyle\int e^x\sin xdx\\
=e^x\sin x-\displaystyle\int e^x\cos xdx$

もう一度部分積分を使うと、上式は、
$e^x\sin x$$-e^x\cos x+\displaystyle\int e^x(-\sin x)dx$
$=e^x\sin x-e^x\cos x-I$
となります。

よって、$I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$ です。
これを移項して整理すると、
$2I=e^x\sin x-e^x\cos x$
$I=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$

$e^x\cos x$ の不定積分

$e^x\sin x$ の積分とやり方はほとんど同じです。

$J=\displaystyle\int e^x\cos xdx$ と置きます。

部分積分を使う($e^x$ を積分、$\cos x$ を微分)と、
$J=\displaystyle\int e^x\cos xdx\\
=e^x\cos x-\displaystyle\int e^x(-\sin x)dx\\
=e^x\cos x+\displaystyle\int e^x\sin xdx$

もう一度部分積分を使うと、上式は、
$e^x\cos x$$+e^x\sin x-\displaystyle\int e^x\cos xdx$
$=e^x\cos x+e^x\sin x-J$
となります。

よって、$J=e^x\cos x+e^x\sin x-J$ です。
これを移項して整理すると、
$2J=e^x\sin x+e^x\cos x$
$J=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$

次:y=xe^x^2の積分、微分など
前:1/e^x+1の積分と、関連する練習問題

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