sin^4x、cos^4xの積分

サイン四乗の不定積分

半角の公式：$\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ を使います→半角の公式の使い方、導出、覚え方。

半角の公式より、
$\displaystyle\int \sin^4xdx\\
=\displaystyle\int (\sin^2x)^2dx\\
=\displaystyle\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2dx\\
=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int (1-2\cos 2x+\cos^2 2x)dx\\
=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\cos^2 2xdx$

ここで、$\displaystyle\int\cos^2 2xdx$ についてですが、再び半角の公式:$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$ を使うと、
$\displaystyle\int\dfrac{1+\cos 4x}{2}dx\\
=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}\sin 4x+C$
となります。

以上をまとめると、$\displaystyle\int\sin^4xdx$ は、
$\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x\\
+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}\sin 4x\right)+C$
$=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{32}\sin 4x+C$
です。

計算は少し複雑ですが、半角の公式を使って次数を下げて行くだけでした！

コサイン四乗の不定積分

半角の公式：$\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ より、
$\displaystyle\int \cos^4xdx\\
=\displaystyle\int (\cos^2x)^2dx\\
=\displaystyle\int \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2dx\\
=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int (1+2\cos 2x+\cos^2 2x)dx\\
=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\cos^2 2xdx$

$\sin^4x$ の積分の際に計算したように、
$\displaystyle\int\cos^2 2xdx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}\sin 4x+C$
なので、$\displaystyle\int\cos^4xdx$ は、
$\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x\\
+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}\sin 4x\right)+C$
$=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{32}\sin 4x+C$
です。

サインコサインのべき乗の積分まとめ

$\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x$、$\displaystyle\int \cos xdx=\sin x$ は覚えましょう。

$\displaystyle\int\sin^2xdx$、$\displaystyle\int\cos^2xdx$ は半角の公式を使えば計算できます。→sin^2x、cos^2x、tan^2xの積分

$\displaystyle\int\sin^3xdx$、$\displaystyle\int\cos^3xdx$ は置換積分を使えば計算できます。→sin^3x、cos^3xの積分

$\displaystyle\int\sin^4xdx$、$\displaystyle\int\cos^4xdx$ は半角の公式を2回使えば計算できました。

次回は 1/sin^2x と 1/cos^2x の積分と有名なテクニック を解説します。