logx、xlogx、logx/x、1/xlogxの積分

$\log x$ に関する積分は、置換積分と部分積分を駆使することで計算できます。

log xの不定積分

$\log x=1\cdot \log x$ とみなして部分積分を使います：

$\displaystyle\int\log xdx\\
=\displaystyle\int (x)’\log xdx\\
=x\log x-\displaystyle\int x\cdot\dfrac{1}{x}dx\\
=x\log x-x+C$

部分積分について、基本的な使い方やコツを分かりやすく解説

xlogxの不定積分

$\log x$ の積分と似ています。同じく部分積分を使います：

$\displaystyle\int x\log xdx\\
=\displaystyle\int \left(\frac{x^2}{2}\right)’\log xdx\\
=\dfrac{x^2}{2}\log x-\displaystyle\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx\\
=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$

余談：
$x\times$ 対数関数の積分は上記の通りですが、
$x\times$ 指数関数の積分は→y=xe^xの微分、積分、グラフなど

logx/xの不定積分

$\log x$ の微分が $\dfrac{1}{x}$ であることに注意して、$\log x=t$ として置換積分を行います：
（微分したものが外にあるときは、それを $t$ とおくべし）

$\log x=t$ とおくと、$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}$ より、
$\displaystyle\int\dfrac{\log x}{x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{t}{x}\cdot\dfrac{dx}{dt}dt\\
=\displaystyle\int tdt\\
=\dfrac{t^2}{2}+C\\
=\dfrac{(\log x)^2}{2}+C$

1/xlogxの不定積分

同様に、$\log x=t$ として置換積分を行います：

実際、$\log x=t$ とおくと、$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}$ より、
$\displaystyle\int\dfrac{1}{x\log x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{xt}\cdot\dfrac{dx}{dt}dt\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{t}dt\\
=\log |t|+C\\
=\log |\log x|+C$

次回は 区分求積法の意味と例題 を解説します。