$\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx\\
=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{2}\log(\sqrt{x^2+1}+x)$
$\sqrt{x^2+1}$（より一般に $\sqrt{x^2+a^2}$）の積分について、3ステップで解説していきます。
注：積分定数は省略しています。
ステップ1：置換積分
$x^2+1$ という式を見ると、$x=\tan\theta$ （$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$）と置きたくなりますね（置きたくならない人はもっとたくさん積分を練習しましょう）。
すると、$\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ なので、
$I=\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx\\
=\displaystyle\int\sqrt{\tan^2\theta+1}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\
=\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\theta}}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta$
ステップ2：部分積分
ここが１番険しいです。
$\dfrac{1}{\cos^3\theta}$ を $\dfrac{1}{\cos\theta}$ と $\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ に分けて部分積分します！
部分積分について、基本的な使い方やコツを分かりやすく解説
$I=\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta\\
=\dfrac{1}{\cos\theta}\tan\theta-\displaystyle\int\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\tan\theta d\theta\\
=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}-\displaystyle\int\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^3\theta}d\theta\\
=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}-\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta+\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos\theta}d\theta$
よって、移項すると、
$2I=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}+\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos\theta}d\theta$
となります。
$\dfrac{1}{\cos\theta}$ の積分は有名ですね！
→sec x（=1/cos x）の微分と積分の公式
結局、
$2I=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}+\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right|$
となります。
ステップ3：$x$ にもどす
$\tan\theta=x$ （$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$）を使って上式を $x$ で表します。
第一項は、
$\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\tan\theta\cdot\dfrac{1}{\cos\theta}=x\sqrt{x^2+1}$
第二項は、
$\log\sqrt{\dfrac{1+\sin \theta}{1-\sin\theta}}\\
=\log\sqrt{\dfrac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}}\\
=\log\left(\dfrac{1}{\cos\theta}+\tan\theta\right)\\
=\log(\sqrt{x^2+1}+x)$
まとめると、
$\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx\\
=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{2}\log(\sqrt{x^2+1}+x)$
となります。
ちなみに、より一般に、
$\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}dx\\
=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2}+\dfrac{a^2}{2}\log(\sqrt{x^2+a^2}+x)+C$
となります。
次回は 無理関数の積分の様々な公式 を解説します。
