√x^2+1の積分を3ステップで分かりやすく解説

$\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx\\
=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{2}\log(\sqrt{x^2+1}+x)$


$\sqrt{x^2+1}$(より一般に $\sqrt{x^2+a^2}$)の積分について、3ステップで解説していきます。
注:積分定数は省略しています。

ステップ1:置換積分

$x^2+1$ という式を見ると、$x=\tan\theta$ ($-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$)と置きたくなりますね(置きたくならない人はもっとたくさん積分を練習しましょう)。

すると、$\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ なので、

$I=\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx\\
=\displaystyle\int\sqrt{\tan^2\theta+1}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\
=\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\theta}}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta$

ステップ2:部分積分

ここが1番険しいです。
$\dfrac{1}{\cos^3\theta}$ を $\dfrac{1}{\cos\theta}$ と $\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ に分けて部分積分します!→部分積分の重要な問題7問+α

$I=\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta\\
=\dfrac{1}{\cos\theta}\tan\theta-\displaystyle\int\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\tan\theta d\theta\\
=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}-\displaystyle\int\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^3\theta}d\theta\\
=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}-\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta+\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos\theta}d\theta$

よって、移項すると、
$2I=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}+\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos\theta}d\theta$
となります。

$\dfrac{1}{\cos\theta}$ の積分は有名ですね!
→sec x(=1/cos x)の微分と積分の公式

結局、
$2I=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}+\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right|$
となります。

ステップ3:$x$ にもどす

$\tan\theta=x$ ($-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$)を使って上式を $x$ で表します。

第一項は、
$\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\tan\theta\cdot\dfrac{1}{\cos\theta}=x\sqrt{x^2+1}$

第二項は、
$\log\sqrt{\dfrac{1+\sin \theta}{1-\sin\theta}}\\
=\log\sqrt{\dfrac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}}\\
=\log\left(\dfrac{1}{\cos\theta}+\tan\theta\right)\\
=\log(\sqrt{x^2+1}+x)$

まとめると、
$\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx\\
=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{2}\log(\sqrt{x^2+1}+x)$
となります。

ちなみに、より一般に、
$\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}dx\\
=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2}+\dfrac{a^2}{2}\log(\sqrt{x^2+a^2}+x)+C$
となります。

次:無理関数の積分の様々な公式
前:1/(x^2+1), 1/(x^2+a^2) の積分公式

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