図形の面積を求める公式たち19個

~目次~
・小学校(算数)で習う公式6つ
・高校で習う三角形の面積公式4つ
・正多角形の面積公式5つ
・その他の公式4つ
徐々に難しくなっていきます!

小学校(算数)で習う公式6つ

三角形の面積
(底辺)×(高さ)÷2

円の面積
(半径)×(半径)×3.14
厳密には $\pi r^2$

長方形の面積
(縦)×(横)

台形の面積
(上底+下底)×(高さ)÷2
→台形の面積を求める公式

ひし形の面積
(対角線)×(対角線)÷2
→ひし形の面積を求める方法と例題

平行四辺形の面積
(底辺)×(高さ)

高校で習う三角形の面積公式4つ

次に、三角形 $ABC$ の面積 $S$ を求める公式を紹介します。三角形の三辺の長さを $a,b,c$ とおきます。いずれも高校数学レベルです。

サインを用いた公式
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$
$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$
$S=\dfrac{1}{2}ca\sin B$

ヘロンの公式
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし、$s=\dfrac{a+b+c}{2}$

内接円の半径 $r$ を使った式
$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$

外接円の半径 $R$ を使った式
$S=\dfrac{abc}{4R}$

正多角形の面積公式5つ

以下、$S$ は面積を表します。

正三角形の面積
$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$×(1辺)$^2$
→正三角形の面積の求め方(小学生用~高校生用)

正四角形(正方形)の面積
$S=$(1辺)$^2$
→正方形の面積を求める2つの公式

正五角形の面積
$S=\dfrac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$×(1辺)$^2$
→正五角形の面積を求める2つの公式

正六角形の面積
$S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$×(1辺)$^2$
→正六角形の面積(計算ツール、公式の導出)

正 $n$ 角形の面積
$S=\dfrac{n}{4\tan\frac{180^{\circ}}{n}}$×(1辺)$^2$

その他の公式4つ

円に内接する四角形の面積
$S=$$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし、$a,b,c,d$ は四角形の辺の長さで、$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
→円に内接する四角形の面積を求める公式

球の表面積
$S=4\pi r^2$
ただし、$r$ は球の半径

楕円の面積
$S=\pi ab$
ただし、$a$ は長軸の長さの半分、$b$ は単軸の長さの半分です。

頂点が格子点上にある多角形の面積
$S=I+\dfrac{B}{2}-1$
ただし、$I$ は図形内にある格子点の数、$B$ は境界上にある格子点の数。
(ピックの定理と呼ばれる定理です)

次:円の面積を積分で計算する2通りの方法
前:正四面体の高さと体積の求め方

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