ひし形の面積を求める方法と例題

ひし形の面積公式

ひし形の面積=対角線の長さ×対角線の長さ÷2

ひし形の面積を計算してみる

ひし形とは、4つの辺の長さが全て同じである四角形のことです。→平行四辺形、ひし形、長方形、正方形の違い
ひし形の面積を計算してみましょう。
ひし形の面積を求める例題

例題1:対角線の長さがそれぞれ $3\:\mathrm{cm}$ と $4\:\mathrm{cm}$ であるひし形の面積を計算せよ。

解答

公式より、ひし形の面積は、
$3\times 4\div 2=6\:\mathrm{cm}^2$

例題2:対角線の長さがそれぞれ $3.1\:\mathrm{cm}$ と $1.2\:\mathrm{cm}$ であるひし形の面積を計算せよ。

解答

対角線の長さが小数でもやることは同じです。公式より、ひし形の面積は、
$3.1\times 1.2\div 2\\
=3.1\times 0.6 =1.86\:\mathrm{cm}^2$

計算ツール

ひし形の面積を計算してくれるツールです。
ひし形の面積を計算するツール
対角線の長さ $a$
対角線の長さ $b$
表面積:

公式がなぜ成り立つか

ひし形の面積=対角線の長さ×対角線の長さ÷2
であることを証明します。

ひし形の面積は、それを囲む長方形の面積の半分であることが分かります(図参照)。
ひし形の面積の証明
実際、
ひし形=$a+b+c+d$
長方形=$2a+2b+2c+2d$
だから、ひし形は長方形の半分!

そして、長方形の面積は、横の長さ×縦の長さ、すなわち、(ひし形の)対角線の長さ×(ひし形の)対角線の長さと等しくなります。

よって、ひし形の面積=対角線の長さ×対角線の長さ÷2
となります。

関連:図形の面積を求める公式たち19個

辺の長さから面積を求める

辺の長さだけではひし形の面積は決まりません。
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例えば、図のような2つのひし形を考えてみます。辺の長さは同じですが、面積は全く異なります(片方はつぶれていて面積が小さい、片方は正方形に近くて面積が大きい)。

一辺の長さだけでなく他の情報(角度など)が分かれば面積を求めることができます。

例題3:一辺の長さが $2$ で、一つの角度が $60^{\circ}$ であるひし形の面積を求めよ。

解答

辺の長さとひし形の面積
三角形 $ABC$ は $30^{\circ}$、$60^{\circ}$、$90^{\circ}$ の直角三角形なので、$BC=1$、$AC=\sqrt{3}$ となります(中学数学で習う知識)。

よって、対角線の長さは $2$$2\sqrt{3}$ です。よって、求める面積は、$2\times 2\sqrt{3}\div 2=2\sqrt{3}$

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