正三角形の面積の求め方(小学生用~高校生用)

正三角形の面積

正三角形の面積を求める公式

~近似値を求めたい人、小学生向け~
(一辺)×(一辺)×$0.43$

~厳密な値を求めたい人、高校生向け~
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$($a$ は一辺の長さ)

どちらかを覚えましょう!

~目次~
・公式の証明(中学生、高校生向け)
・小学生でも分かる公式
・例題

公式の証明(中学生、高校生向け)

~中学生はコチラ~

正三角形の面積を計算する

$H$ は $BC$ の中点なので、$BH=\dfrac{1}{2}a$ です。よって、三角形 $ABH$ に三平方の定理を使うと、
$AH^2=AB^2-BH^2\\
=a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}a^2$

よって、正三角形の面積は、
$\dfrac{1}{2}\times BC\times AH\\
=\dfrac{1}{2}a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

~高校生はコチラ~
一般に三角形の面積は、
$\frac{1}{2}$ ×(二辺の長さ)×(間の角の $\sin$)
です(高校数学で習う)。

よって、一辺が $a$ の正三角形の面積は、
$S=\dfrac{1}{2}a\cdot a\cdot \sin 60^{\circ}\\
=\dfrac{1}{2}a^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

補足:この公式を使えば正四面体の体積を計算できます。→正四面体の高さと体積の求め方

関連:図形の面積を求める公式たち19個

小学生でも分かる公式

正三角形の面積は(おおよそ)、
(一辺の長さ)×(一辺の長さ)×$0.43$
となります。

($\dfrac{\sqrt{3}}{4}=0.4330127\cdots$ であることと、上で導いた公式から分かります)
より正確な値を知りたい人は、$0.43\to 0.433$ とすればよいでしょう。

余談ですが、これは円の面積がおおよそ
(半径)×(半径)× $3.14$
である、という公式と似ています。

例題

一辺の長さが $4$cm である正三角形の面積を計算せよ。

答え(小学生向け)

面積は、
(一辺の長さ)×(一辺の長さ)×$0.43$
$=4\times 4\times 0.43$
$=6.88\:\mathrm{cm}^2$

答え(厳密な値)

面積は、
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2$
$=4\sqrt{3}\:\mathrm{cm}^2$

ちなみに、$4\sqrt{3}=6.9282\cdots$
です。

次:四角形の対角線の長さから面積を求める公式
前:三角形の面積を3辺の長さから求める2つの方法

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