$\displaystyle\int xe^{x^2}dx=\dfrac{1}{2}e^{x^2}+C$
$(xe^{x^2})’=(1+2x^2)e^{x^2}$
不定積分
不定積分 $\displaystyle\int xe^{x^2}dx$ を計算してみましょう。置換積分を用います。
$x^2=t$ と置換すると、$\dfrac{dt}{dx}=2x$ なので、
$\displaystyle\int x{e^{x^2}}dx\\
=\displaystyle\int \dfrac{1}{2}e^{t}(2x)dx\\
=\displaystyle\int \dfrac{1}{2}e^tdt\\
=\dfrac{1}{2}e^t+C\\
=\dfrac{1}{2}e^{x^2}+C$
となります。
補足：「微分したものが外にあるときはそれを置換するとよい」という鉄則にしたがい、$x^2=t$ と置換しました。
微分
$y=xe^{x^2}$ を微分してみます。積の微分公式（→積の微分公式の頻出問題6問）および合成関数の微分公式を使います。
$(xe^{x^2})’\\
=(x)’e^{x^2}+x(e^{x^2})’\\
=e^{x^2}+x(x^2)’e^{x^2}\\
=e^{x^2}+x\cdot (2x)e^{x^2}\\
=(1+2x^2)e^{x^2}$
一般的な微分、積分の式
上記の微分の公式を導いたやり方と同じ方法で、
$(xe^{ax^2})’=(1+2ax^2)e^{ax^2}$
を証明することができます。
例えば $a=-1$ の場合、
$(xe^{-x^2})’=(1-2x^2)e^{-x^2}$
となります。
また、上記の不定積分の公式を導いたやり方と同じ方法で、
$\displaystyle\int xe^{ax^2}dx=\dfrac{1}{2a}e^{ax^2}+C$
を証明することができます。。
例えば $a=-1$ の場合、
$\displaystyle\int xe^{-x^2}dx=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}+C$
となります。
次回は logx、xlogx、logx/x、1/xlogxの積分 を解説します。
