2倍角の公式の証明と頻出例題

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

sinの2倍角の公式

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
を証明してみましょう。

加法定理
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
の $\beta$ に $\alpha$ を代入すると、
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ が分かります。

例題1:$\sin\alpha=\dfrac{1}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ を求めよ。ただし、$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ とする。

解答

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ より、
$\cos^2\alpha=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$

$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos\alpha > 0$ であり、
$\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

よって、sinの2倍角の公式より、
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\
=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\
=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$

cosの2倍角の公式

$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
を証明してみましょう。

加法定理
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
の $\beta$ に $\alpha$ を代入すると、
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ が分かります。

$\cos$ の2倍角の公式には他にも2種類の形があります。

$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
という式で、さらに、$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ であることを使うと、
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ が分かります。

また、$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ であることを使うと、
$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ が分かります。

例題2:$\cos 2\alpha=\cos\alpha$ のとき、$\alpha$ の値を求めよ。ただし、$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ とする。

解答

三角方程式の問題です、さきほどの式 $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ を与式に代入すると、
$2\cos^2\alpha-1=\cos\alpha$
$2\cos^2\alpha-\cos\alpha-1=0$
$(2\cos\alpha-1)(\cos\alpha+1)=0$
$\cos\alpha=\dfrac{1}{2},-1$

ここで、$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ なので、$\alpha=60^{\circ}$

tanの2倍角の公式

$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
を証明してみましょう。

加法定理
$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
の $\beta$ に $\alpha$ を代入すると、
$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ が分かります。

次:半角の公式(導出、使い方、覚え方)
前:三角方程式の解き方と例題

スポンサーリンク

スポンサーリンク

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る