2倍角の公式の証明と頻出例題

このページでは、
・倍角の公式はどんなときに使うのか？
・倍角の公式の証明方法は？
・コサインの倍角の公式３種類の使い分けは？
といった、倍角の公式に関する疑問にお答えします。

倍角の公式とは

$\alpha$ の三角比が分かっているとき、以下の公式を使って $2\alpha$ の三角比を計算することができます：

$\sin 2\alpha$ を計算したいとき：
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha$ を計算したいとき：
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
または
$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
または
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$

$\tan 2\alpha$ を計算したいとき：
$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

これらの公式を、倍角の公式、または2倍角の公式と言います。

倍角の公式を使う例題

例題：
$\sin\alpha=\dfrac{1}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ を求めよ。ただし、$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ とする。

解答：
$\sin 2\alpha$ を計算したいので、倍角の公式：
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
を使います。

そのためには、まず $\cos\alpha$ を計算する必要があります。
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ より、
$\cos^2\alpha=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$

$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos\alpha > 0$ であり、
$\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

よって、sinの2倍角の公式より、
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\
=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\
=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$

倍角の公式の証明方法

倍角の公式を１つずつ証明していきます。倍角の公式の証明には、三角関数の加法定理を知っている必要があります。

加法定理
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
の $\beta$ に $\alpha$ を代入すると、
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ が分かります。

加法定理
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
の $\beta$ に $\alpha$ を代入すると、
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ が分かります。

$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
という式で、さらに、$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ であることを使うと、
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ が分かります。

また、$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ であることを使うと、
$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ が分かります。

加法定理
$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
の $\beta$ に $\alpha$ を代入すると、
$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ が分かります。

コサインの倍角公式の使い分け

コサインの倍角の公式は３つあります。
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
「全てを $\cos\alpha$ で表したい」場合は２つめの公式を使います。「全てを $\sin\alpha$ で表したい」場合は３つめの公式を使います。

例題：
$\cos 2\alpha=\cos\alpha$ のとき、$\alpha$ の値を求めよ。ただし、$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ とする。

解答：
三角方程式の問題です。「全てを $\cos\alpha$ で表したい」ので、２つめの公式を使います。
$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
を与式に代入すると、
$2\cos^2\alpha-1=\cos\alpha$
$2\cos^2\alpha-\cos\alpha-1=0$
$(2\cos\alpha-1)(\cos\alpha+1)=0$
$\cos\alpha=\dfrac{1}{2},-1$

ここで、$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ なので、$\alpha=60^{\circ}$

もっと詳しく

「倍の角度の三角比を計算する」のが倍角の公式。では「半分の角度の三角比を計算する」方法は？
→半角の公式（導出、使い方、覚え方）

三角関数の加法定理に関連する他の公式も復習したい！
→三角関数の加法定理に関する公式全22個（導出の流れつき）