x+1/xの最小値の3通りの求め方
例題
$x+\dfrac{1}{x}$ の $x>0$ における最小値を求めよ。
解答１
相加平均、相乗平均の不等式より、
$x+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2$
です。等号成立は $x=\dfrac{1}{x}$、つまり $x=1$ のときです。
よって答えは、$x=1$ のとき最小値 $2$ です。
関連：相加平均、相乗平均の不等式の意味と使い方
解答２
平方完成のような変形をします。
$x+\dfrac{1}{x}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+2$
この右辺は「二乗＋$2$」という形をしているので必ず $2$ 以上です。そして、$\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ のとき、つまり $x=1$ のときには $2$ になります。
よって、最小値は $2$ です。
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解答３
微分してグラフを書くことでとりうる値の範囲（最小値も含む）を求めることができます（グラフの書き方は後述）。
グラフの書き方
例題２
$y=x+\dfrac{1}{x}$ のグラフの概形を書け。
解答
定義域は $x\neq 0$ です。
導関数は
$f’=1-\dfrac{1}{x^2}\\
=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$
です。よって、
$-1 < x<1$ では微分がマイナスなので減少関数、それ以外では増加関数となります。
そして、
$x=1$ のときに極小値 $2$
$x=-1$ のときに極大値 $-2$
をとることが分かります。
また、極限は
$x\to\infty$ のとき $f(x)\to\infty$
$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty$
$x\to +0$ のとき $f(x)\to\infty$
$x\to -0$ のとき $f(x)\to -\infty$
となります。
さらに、$x$ がとても大きい場合またはとても小さい場合は $\dfrac{1}{x}$ は無視できるので $x+\dfrac{1}{x}\simeq x$ となります。つまり、$y=x$ が漸近線です。
また、$x=0$（$y$ 軸）も漸近線です。
以上のことに気をつけると、グラフは上図のようになります。とりうる値の範囲は $y\leq -2$、$2\leq y$ です。
補足、まめ知識
・$x+\dfrac{1}{x}$ は奇関数です。
・$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$ という等式は覚えておくとよいでしょう。実際、この式を知っていれば先程の解答２が思いつきやすいでしょう。
・$y=x+\dfrac{1}{x}$ のグラフは $y=x$ のグラフ（比例）と $y=\dfrac{1}{x}$ のグラフ（反比例）を足し合わせたようなグラフです。
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次回は y=sinxcosxの微分、グラフ、積分 を解説します。
