反比例の意味と身近な例4つ

反比例とは、2つの量のかけ算が一定であるような関係のことです。

反比例とは

例えば、面積が $24$ の長方形の縦の長さ $x$ と横の長さ $y$ の関係について考えてみましょう。

$x=2$ のとき、$y=12$
$x=4$ のとき、$y=6$
$x=6$ のとき、$y=4$
のように、$x$ と $y$ の積が $24$ で一定になります。

このように、2つの量 $x$ と $y$ について、その積 $xy$ が一定のとき、$x$ と $y$ は反比例すると言います。

反比例を表す式

反比例を表す式について考えてみましょう。

「$x$ と $y$ が反比例する」とは、$xy$ が一定であるという意味でした。

つまり、$x$ と $y$ が反比例する場合には、定数 $k$ を使って、$xy=k$ と表すことができます。これを $y$ について解くと、
$y=\dfrac{k}{x}$
となります。これが反比例の式です。

例えば、面積が $24$ の長方形の縦の長さ $x$ と横の長さ $y$ の間には、
$y=\dfrac{24}{x}$
という関係式が成立します。

反比例の身近な例

反比例の具体例をいろいろ紹介します。

身の回りに反比例の関係はたくさんあります。

例1:距離が一定の道を速さ $v$ で進むとき、時間が $t$ かかるとする、このとき $v$ と $t$ は反比例する。
「速さ×時間=距離」
なので、距離が一定のとき速さと時間の積は一定です。つまり、反比例の関係にあります。

例2:全部で $k$ 個のものを何人かで分ける。このとき「分ける人数」と「一人あたりのもらえる個数」は反比例する。
「分ける人数」と「一人あたりのもらえる個数」の積は $k$ になります。つまり、反比例の関係にあります。

例3:面積が一定の長方形について、横の長さ $x$ と縦の長さ $y$ は反比例する。
「横の長さ×縦の長さ=面積」
なので、面積が一定のとき横の長さと縦の長さの積は一定です。つまり、反比例の関係にあります。

例4:温度が一定の理想気体について、圧力 $p$ と体積 $V$ は反比例する
高校物理で習う理想気体の状態方程式より、
$pV=nRT$
です。温度 $T$ が一定のとき、$p$ と $V$ の積は一定なので反比例することが分かります。

反比例の意味をさらに詳しく

「$x$ と $y$ が反比例する」をいろいろな言い方で表してみます。理解しやすい表現で覚えてください。

・積 $xy$ が一定
・$y=\dfrac{k}{x}$ と表せる($k$ は定数)
・$x$ が $2,3,4,\cdots$ 倍になると、$y$ が $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4},\cdots$ 倍になる
・$x$ が $y$ の逆数に比例する
・$x$ が $y$ の $-1$ 乗に比例する(高校生向け)

ちなみに、比例の意味と具体例については比例(数学)の意味を分かりやすく解説を参照してください。

次回は 中学一年生の数学カリキュラム を解説します。

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