平方完成のやり方と練習問題

$ax^2+bx+c$ という式を、$a(x-p)^2+q$ という形に変形することを平方完成と言う。

例:$x^2+4x+1$ を平方完成すると、
$(x+2)^2-3$

平方完成は、二次関数の最大値、最小値を求めたり、二次方程式を解くのに使う重要な式変形です。

平方完成のやり方

例として、$x^2+4x+1$ を平方完成してみます。

$x^2+4x+1\\
=x^2+4x+4-4+1\\
=(x+2)^2-3$
となります。
同じものを足して引くことで二乗の形をつくるのがポイントです。もう少し詳しく言うと、一次の係数の半分の二乗を足して引きます。(今回は一次の係数 4 の半分 2 の二乗なので 4 を足して 4 を引く)

もうひとつ、$-2x^2+12x-3$ を平方完成してみます。

$-2x^2+12x-3\\
=-2(x^2-6x)-3\\
=-2(x^2-6x+9-9)-3\\
=-2\{(x-3)^2-9\}-3\\
=-2(x-3)^2+18-3\\
=-2(x-3)^2+15$
となります。
二次の係数が1でないときは最初に二次の係数でくくるのがポイントです。そして、カッコの中の一次の係数 -6 の半分 -3 の二乗である 9 を足して 9 を引きます。

この2つのポイントさえ理解すればどんな二次式でも平方完成できます。

練習問題

以下を平方完成せよ。
(1) $x^2+6x+7$
(2) $-x^2+3x+9$
(3) $3x^2-x+1$

解答

(1)
$x^2+6x+7\\
=x^2+6x+9-9+7\\
=(x+3)^2-2$
途中で、一次の係数 6 の半分 3 の二乗である 9 を足して 9 を引きました。

(2)
$-x^2+3x+9\\
=-(x^2-3x)+9\\
=-(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})+9\\
=-\left\{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\right\}+9\\
=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}+9\\
=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{45}{4}$
途中で、カッコの中の一次の係数 $-3$ の半分 $-\frac{3}{2}$ の二乗である $\frac{9}{4}$ を足して $\frac{9}{4}$ を引きました。

(3)
$3x^2-x+1\\
=3(x^2-\frac{1}{3}x)+1\\
=3(x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}-\frac{1}{36})+1\\
=3\left\{(x-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{36}\right\}+1\\
=3(x-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{12}+1\\
=3(x-\frac{1}{6})^2+\frac{11}{12}$
途中で、カッコの中の一次の係数 $-\frac{1}{3}$ の半分 $-\frac{1}{6}$ の二乗である $\frac{1}{36}$ を足して $\frac{1}{36}$ を引きました。

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