半角の公式の使い方、導出、覚え方

半角の公式:
$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$
$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$

半角の公式とは

半角の公式の使い方

半角の公式を使う例題を解説します。

問題

(1) $\tan 15^{\circ}$ を求めよ。

解答

半角の公式の使い方の例

$\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、半角の公式より、
$\tan^2 15^{\circ}=\dfrac{1-\cos 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}\\
=\dfrac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\
=(2-\sqrt{3})^2$
(最後の変形は分母の有理化
よって、$\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$

半角の公式の導き方

半角の公式を証明してみましょう。

$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$ の証明です。

コサインの倍角の公式:
$\cos 2\alpha =1-2\sin^2\alpha$
を $\sin^2\alpha$ について解くと、
$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$
となります。この式の $\alpha$ に $\dfrac{\theta}{2}$ を代入すればサインの半角の公式が導けます。
参考:2倍角の公式の証明と頻出例題

$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$ の証明です。

コサインの倍角の公式:
$\cos 2\alpha =2\cos^2\alpha -1$
を $\cos^2\alpha$ について解くと、
$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$
となります。この式の $\alpha$ に $\dfrac{\theta}{2}$ を代入すればコサインの半角の公式が導けます。

$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ の証明です。

上の二つの公式と、$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin^2\dfrac{\alpha}{2}}{\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}$ を組み合わせれば導出できます。

半角の公式の覚え方

$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$
$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$
の覚え方です。

$\sin$ と $\cos$ の公式は暗記してください。その際、以下の点に注意すると忘れにくいでしょう。
・いずれも $\cos\theta$ のみで表せる
・$\cos$ は $+\cos$(コスとコスは仲良しなのでプラス)、$\sin$ は $-\cos$ (コスとサインは別物なのでマイナス)が登場

タンジェントについては、$\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$ を用いてすぐに導くことができるので覚える必要はありません。

積分でも活躍

半角の公式は積分でも活躍します。

問題

(2) 不定積分 $\displaystyle\int \sin^2x dx$ を計算せよ(数学III)。

解答

半角の公式:
$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$
で、$\theta$ に $2x$ を代入すると
$\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$
になります。よって、
$\displaystyle\int \sin^2x dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx\\
=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C$

ちなみに、この方法で $\cos^2x$ も積分できます。→sin^2x、cos^2x、tan^2xの積分

次回は sin、cos、tanの三倍角の公式の2通りの証明 を解説します。

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