1/sin^2x と 1/cos^2x の積分と有名なテクニック

sin二乗分の1の不定積分

証明１
$\dfrac{1}{\tan x}$ を微分すると、$-\dfrac{1}{\sin^2x}$ になることが分かるので、

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}dx=-\dfrac{1}{\tan x}+C$
となります。
参考：1/tan x の微分と積分の公式

証明２
$\tan x=t$ と置換してみます（なぜこのように置換するのかはこのページの末尾で説明）。

すると、$1+t^2=\dfrac{1}{\cos^2x}$ なので
$\sin^2x=1-\cos^2x\\
=1-\dfrac{1}{1+t^2}=\dfrac{t^2}{1+t^2}$
となります。

また、$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+t^2$
です。

よって、置換積分の公式より、
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1+t^2}{t^2}\cdot\dfrac{1}{1+t^2}dt\\
=\displaystyle\int t^{-2}dt\\
=-\dfrac{1}{t}+C\\
=-\dfrac{1}{\tan x}+C$
となります。

cos二乗分の1の不定積分

証明１
$\tan$ を微分すると、$\dfrac{1}{\cos^2x}$ になることが分かるので、

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C$
となります。

証明２
$\sin$ の場合と同じく、$\tan x=t$ と置換してみます。

すると、$1+t^2=\dfrac{1}{\cos^2x}$ です。

また、$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+t^2$
です。

よって、置換積分の公式より、
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx\\
=\displaystyle\int(1+t^2)\cdot\dfrac{1}{1+t^2}dt\\
=\displaystyle\int 1dt\\
=t+C\\
=\tan x+C$
となります。

なぜ $\tan x=t$ と置換するのか

$\displaystyle\int\dfrac{dX}{a\sin X+b\cos X+c}$
という形の積分は、$\tan \dfrac{X}{2}=t$ と置換するとうまくいく。
というテクニックがあります。

今回の積分は、半角の公式 を使うと、
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{2}{1-\cos 2x}dx\\
=\displaystyle\int\dfrac{1}{-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}}dx$
という形になるので、$\tan x=t$ と置換するとうまくいきます。

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx$ についても同様です。

次回は tanx、tan^2x、tan^3xの不定積分 を解説します。