対数計算の公式、性質一覧

必ず覚えるべき対数の公式

~対数の定義~
・$\log_a b=c\iff a^c=b$

例題:$\log_{10} 1000$ はいくつか?
答え:$10^3=1000$ なので、$\log_{10} 1000=3$

~底の条件、真数条件~
$\log_a b$ は、
$a > 0$、$a\neq 1$ (底の条件)かつ
$b > 0$ (真数条件)のときに定義される。

~基本的な対数の公式~
・$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$
(対数の足し算はかけざんの対数)

・$\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}$
(対数の引き算はわり算の対数)

・$\log_a M^k=k\log_a M$
(指数は前に出る)

・$\log_a 1=0$

例:
$\log_2 3+\log_2 5=\log_2 15$
$\log_3 18-\log_3 2=\log_3 9=2$
$\log_2 9=\log_2 3^2=2\log_2 3$
$\log_5 1=0$

~底の変換公式~
・$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
例:$\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}$

重要度は低いが役立つ対数計算の公式

・$a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$
($a$ と $c$ を交換できる)
例:$9^{\log_3 2}=2^{\log_3 9}=2^2=4$

・$\log_a b\:\log_b c=\log_a c$
・$\log_a b\:\log_b c\:\log_c d=\log_a d$
(真ん中を打ち消すことができる)
例:$\log_2 3\log_3 4=\log_2 4=2$

・$\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$
(底と真数を交換すると逆数になる)
例:$\log_4 2=\dfrac{1}{\log_2 4}=\dfrac{1}{2}$

・$\log_{a^k} b=\dfrac{1}{k}\log_a b$
(底の指数は逆数として前に出る)
例:$\log_8 5=\log_{2^3} 5=\dfrac{1}{3}\log_2 5$

微分、積分に関する対数の公式

・$\log x$ の微分は $\dfrac{1}{x}$

・$\log x$ の不定積分は、$x\log x-x+C$

・$\log x$ の $n$ 階微分は、$(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$

・$\log(x+1)$ のマクローリン展開は、$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$

次:ln(自然対数)とlog10(常用対数)の変換
前:「指数的に増加」「指数関数的に増加」の意味

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