対数計算の公式一覧(基礎5個+発展4個)

対数(log)の計算について、公式を整理しました。対数の定義と基本的な用語を確認した後、基礎的な公式5つと、発展公式4つを紹介します。

対数の定義

まずは、対数の定義を確認しておきましょう。

対数の定義:
$a^c=b$ となるような $c$ のことを、$\log_a b$ と書きます。$\log$ のことを対数と言います。

例えば、$\log_2 8$ を計算してみましょう。
これは、$2^c=8$ となるような $c$ はいくつか?という問題と同じです。
$c=3$ と計算できますね。つまり、$\log_2 8=3$ です。

底の条件、真数条件

対数の底と真数:
$\log_a b$ の $a$ のことを、$b$ のことを真数と言います。
例えば、$\log_2 8$ については、$2$ が底で、$8$ が真数になります。

底の条件:
$\log_a b$ は $a > 0$ かつ $a\neq 1$ のときのみに定義されます。これを底の条件と言います。

真数条件:
$\log_a b$ は $b > 0$ のときのみに定義されます。これを真数条件と言います。

対数の足し算の公式

ここからは、基本的な対数計算の公式を5つ確認していきます。まずは、対数の足し算と引き算からです。

対数の足し算:
$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$
(対数の足し算はかけざんの対数)

例えば、
$\log_2 3+\log_2 5=\log_2 15$
のように計算できます。

対数の引き算の公式

対数の引き算は、中身の割り算になります。

対数の引き算:
$\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}$
(対数の引き算はわり算の対数)

例えば、
$\log_3 18-\log_3 2=\log_3 9=2$
のように計算できます。

逆に、対数の分数は、引き算に直せると言うこともできます。これを利用すると、
$\log_{2} 0.3=\log_{2}\dfrac{3}{10}\\
=\log_{2}3-\log_{2}10$
のように、小数の対数を整数の対数に直すこともできます。

指数の肩は前に出る

$\log_a M^k=k\log_a M$ という公式が成立します。つまり、指数の肩は前に出ます。

例えば、
$\log_2 9=\log_2 3^2=2\log_2 3$
のように計算できます。

1の対数

真数が $1$ である対数は必ず $0$ になります。つまり、$\log_a 1=0$ という公式が成立します。実際、どのような 底 $a$ に対しても $a^c=0$ となる $c$ は $c=1$ だからです。

例えば、$\log_5 1=0$ のように計算できます。

底の変換公式

次は、少し難しいですが非常に重要な底の変換公式です。

底の変換公式:
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

例えば、
$\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}$
のように計算できます。

重要度は低いが役立つ対数計算の公式

多くの教科書には載っていない、少し難しい対数の公式を4つ紹介します。

・$a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$
($a$ と $c$ を交換できる)
例:$9^{\log_3 2}=2^{\log_3 9}=2^2=4$

・$\log_a b\:\log_b c=\log_a c$
・$\log_a b\:\log_b c\:\log_c d=\log_a d$
(真ん中を打ち消すことができる)
例:$\log_2 3\log_3 4=\log_2 4=2$

・$\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$
(底と真数を交換すると逆数になる)
例:$\log_4 2=\dfrac{1}{\log_2 4}=\dfrac{1}{2}$

・$\log_{a^k} b=\dfrac{1}{k}\log_a b$
(底の指数は逆数として前に出る)
例:$\log_8 5=\log_{2^3} 5=\dfrac{1}{3}\log_2 5$

微分、積分に関する対数の公式

対数関数の微分・積分は数学IIIで習います。公式を整理しておきます。

・$\log x$ の微分は $\dfrac{1}{x}$
詳細:logxの微分が1/xであることの証明をていねいに

・$\log x$ の不定積分は、$x\log x-x+C$
詳細:logx、xlogx、logx/x、1/xlogxの積分

・$\log x$ の $n$ 階微分は、$(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$
詳細:いろいろな関数のn次導関数

・$\log(x+1)$ のマクローリン展開は、$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$

次回は ln(自然対数)とlog10(常用対数)の変換 を解説します。

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