正四面体の高さと体積の求め方

正四面体の体積

一辺の長さが $a$ である正四面体(4つの面全てが正三角形である四面体)について
高さは、$\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$
体積は、$\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$

断面図を用いて高さを求める

正四面体の高さ、つまり $AH$ の長さを計算します。($H$ は $A$ から $BCD$ に下ろした垂線の足)

正四面体の体積の求め方

正四面体を $ABH$ を含む平面で切ってみます。この平面は(対称性より) $CD$ の中点 $M$ を含みます。そこで、三角形 $ABM$ を切り出してみます。$AB=a$、$AM=BM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ となります。

$AH=h$ とおくと、三平方の定理より、
$\sqrt{a^2-h^2}+\sqrt{\frac{3}{4}a^2-h^2}\\
=BH+HM=BM=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

ここで、$\sqrt{a^2-h^2}$ を移項して両辺二乗すると、
$\frac{3}{4}a^2-h^2$
$=\frac{3}{4}a^2+(a^2-h^2)-\sqrt{3}a\sqrt{a^2-h^2}$

移項して両辺 $a$ で割ると、$\sqrt{3}\sqrt{a^2-h^2}=a$

もう一度両辺を二乗すると、
$3a^2-3h^2=a^2$
$h^2=\frac{2}{3}a^2$
$h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$ となります。

注:他にもいろいろな方法があります。

体積を求める

高さが分かったので、あとは底面積を計算すれば体積が求まります。

一辺が $a$ の正四面体の底面は、一辺が $a$ の正三角形なので、底面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ です。
→正三角形の面積の求め方(小学生用~高校生用)

底面積と高さが求まったので、体積 $V$ は以下のように計算できます:
$V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{3}a \cdot\dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$

立方体を用いた裏ワザ

上記の方法が正攻法ですが、実は、立方体を使えば正四面体の体積を素早く計算することができます。
正四面体と立方体

一辺が $a$ の正四面体は、
一辺が $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ である立方体から
「縦、横、高さが全て $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ である直角三角錐」を4つ引いたもの(図をじっくり見て理解してください!)なので、体積は、

$\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^3-4\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{3}\\
=\dfrac{a^3}{2\sqrt{2}}-\dfrac{a^3}{3\sqrt{2}}\\
=\dfrac{\sqrt{2}}{4}a^3-\dfrac{\sqrt{2}}{6}a^3$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$

また、体積が分かれば、そこから高さ $h$ も計算できます。

正四面体の底面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ なので、
$\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot h\cdot\dfrac{1}{3}$
よって、$h=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

次:図形の面積を求める公式たち19個
前:正八面体の体積、表面積、外接球の半径、内接球の半径

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