確率密度関数が $f(x)$ のとき、
期待値（平均）は $\mu=\displaystyle\int xf(x)dx$
分散は $\sigma^2=\displaystyle\int(x-\mu)^2f(x)dx$
（ただし、積分範囲は確率密度関数の定義域）
期待値の求め方と例題
例題１
確率密度関数が $f(x)=e^{-x}$（定義域は $x\geq 0$）で表される確率分布の期待値 $\mu$ を計算せよ。
解答
期待値は、公式より
$\mu=\displaystyle\int_0^{\infty}xe^{-x}dx$
となります。これは部分積分を使うことで計算できます：
$\left[x\cdot(-1)e^{-x}\right]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} (-1)e^{-x}dx\\
=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}dx\\
=\left[-e^{-x}\right]_0^{\infty}\\
=1$
よって、期待値は $1$ です。
部分積分の詳細：
・部分積分について、基本的な使い方やコツを分かりやすく解説
・xe^{-x}の不定積分と広義積分
分散の求め方と例題
例題２
確率密度関数が $f(x)=e^{-x}$（定義域は $x\geq 0$）で表される確率分布の分散 $\sigma^2$ を計算せよ。
解答
$\sigma^2=\displaystyle\int_0^{\infty}(x-1)^2e^{-x}dx$
あとはただ計算するだけです。まずは展開しましょう：
$\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty}2xe^{-x}+\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x}dx$
詳細は省略しますが、
・２項目は例題１で計算したので $-2$ と分かります。
・３項目は $1$ になります。
・１項目は部分積分を２回すると、
$\left[(-x^2-2x-2)e^{-x}\right]_0^{\infty}\\
=2$
となります。
よって、$\sigma^2=2-2+1=1$ となります。
分散の求め方その２
$\sigma^2=\displaystyle\int x^2f(x)dx-\mu^2$
という公式を使っても分散を計算することができます。こちらの公式の方が計算が楽になることが多いです。例で確認してみましょう。
例題２の別解
例題１より $\mu=1$ が分かっているので分散は、
$\sigma^2=\displaystyle\int_0^{\infty}x^2e^{-x}dx-1^2$
この積分はさっきの解答と同様に計算する必要があります。
定積分の値は $2$ なので、
$\sigma^2=2-1=1$
となります。
次回は 累積分布関数の意味および確率密度関数との関係 を解説します。
