区分求積法の意味と例題

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx$

公式が成立する理由

図のように、$x=0$ から $x=1$ までの区間を $n$ 個に分割して、$n$ 個の長方形を作ってみましょう。

区分求積法の証明

この長方形の面積を足し上げると、
$\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\cdots +\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{n}{n}\right)\\
=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$
となります。

$n$ をどんどん増やしていくと、長方形の横幅はどんどん $0$ に近づいていくので、
長方形の面積の和 $f(x)$ と $x$ 軸と $x=0$ と $x=1$ で囲まれた部分の面積に近づいていきます。

よって $n\to\infty$ で、
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\to\int_0^1f(x)dx$
となります。

例題

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{n^3}$
を計算せよ。

区分求積法による解答

和を $\sum\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ の形にするのがコツです。

$\dfrac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}\\
=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1^2}{n^2}+\dfrac{2^2}{n^2}+\cdots +\dfrac{n^2}{n^2}\right)\\
=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$
と変形できます。ただし、$f(x)=x^2$ です。

よって、上式で $\displaystyle\lim_{n\to\infty}$ の極限を取ると、区分求積法の公式より、
$\displaystyle\int_0^1 x^2dx\\
=\left[\dfrac{1}{3}x^2\right]_0^1\\
=\dfrac{1}{3}$
となります。

和の公式を使った解答

この問題はわざわざ区分求積法を使わなくても、
$1^2+2^2+\cdots +n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
という公式を使えば解けます。実際、
$\dfrac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}\\
=\dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\
=\dfrac{1}{6}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)$
なので、$n\to\infty$ のときの極限値は $\dfrac{1}{3}$ になります。

応用:端の方は気にしない

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx$

という公式のシグマの部分(和の範囲)を少し変えた

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=4}^{n+12}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx$
のような式も成り立ちます。

理由:
「微小な長方形を無数に足す」というイメージなので、端っこの長方形が多少増えたり減ってもその値に影響はありません。

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