二次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求める

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は
二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解と一致する。

~目次~
・簡単な例題
・解の公式を使う問題
・共有点の個数

簡単な例題

二次関数 $y=x^2-3x+2$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。

解答

$x$ 軸との共有点の $y$ 座標は $0$ なので、$x$ 座標は
$x^2-3x+2=0$ という二次方程式の解である。

これを因数分解すると、
$(x+1)(x+2)=0$
となり、解は $x=-1,-2$

よって、答えは $(-1,0)$ と $(-2,0)$

二次関数とx軸の共有点

ちなみに、$y=x^2-3x+2$ のグラフは図のようになります。

関連:二次方程式の例題4問

解の公式を使う問題

例題2:二次関数 $y=2x^2+5x-1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。

解答

$x$ 軸との共有点の $y$ 座標は $0$ なので、$x$ 座標は
$2x^2+5x-1=0$ という二次方程式の解である。

解の公式を使って解くと、
$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot(-1)}}{2\cdot 2}\\
=\dfrac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$
となる。

よって、答えは $\left(\dfrac{-5+\sqrt{33}}{4},0\right)$ と $\left(\dfrac{-5-\sqrt{33}}{4},0\right)$

関連:二次方程式の解の公式:問題4問

共有点の個数

二次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めるだけなら判別式 $D$ の符号から判断できます:
$D>0$ なら共有点の個数は2つ
$D=0$ なら共有点の個数は 1つ(グラフは $x$ 軸と接する)
$D<0$ なら共有点の個数は 0つ

例題3:二次関数 $y=2x^2+5x-1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。

解答

例題2と同じ関数です。判別式 $D$ は
$D=5^2-4\cdot 2\cdot (-1)=33>0$
なので共有点の個数は2つだと分かります。
わざわざ二次方程式を解かなくても分かるので少し楽です。

例題4:二次関数 $y=x^2+x+1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。

解答

判別式は
$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$
なので共有点の個数は0(共有点を持たない)だと分かります。

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前:二次関数の最大値と最小値を求める問題4問

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