二次方程式の例題4問

因数分解を使って解く二次方程式の問題を4問解説します。

例題1

二次方程式 $x^2+3x+2=0$ を解け。

解答

右辺が $0$ である二次方程式は、左辺が因数分解できれば解けます。実際、左辺は
$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
と因数分解できるので、もとの二次方程式は
$(x+1)(x+2)=0$
となります。「かけ算したものが $0$→どちらかは $0$」なので、$x+1=0$ または $x+2=0$ です。よって、答えは $x=-1$ または $x=-2$

注:因数分解公式:$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ を使いました。
因数分解が分からないと二次方程式も解けません。因数分解から復習しましょう!
→因数分解公式一覧(全22個)

例題2

二次方程式 $x^2-4x=-4$ を解け。

解答

右辺が $0$ でない二次方程式は、左辺に全て移項します:
$x^2-4x+4=0$
次に、左辺を因数分解します:
$(x-2)^2=0$
よって、$x-2=0$ つまり答えは $x=2$

注:因数分解公式:$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ を使いました。

例題3

二次方程式 $3(x+2)=(x-1)^2-1$ を解け。

解答

まずは両辺を展開します:
$3x+6=x^2-2x+1-1$
$3x+6=x^2-2x$
次に、左辺に全て移項します:
$-x^2+3x+2x+6=0$
$-x^2+5x-6=0$

$x^2$ の係数にマイナスがついていて嫌なので、両辺を $-1$ 倍します:
$x^2-5x+6=0$
左辺を因数分解します!
$(x-2)(x-3)=0$
よって、$x=2$ または $x=3$ が答えです。

例題4

二次方程式 $2x^2-x-1=0$ を解け。

解答

左辺を因数分解すると、
$(2x+1)(x-1)=0$ となります。
よって、$2x+1=0$ または $x-1=0$ つまり、答えは $x=-\dfrac{1}{2}$ または $x=1$

注:因数分解公式:
$acx^2+(ad+bc)x+bd\\=(ax+b)(cx+d)$
を使いました(たすきがけと呼ばれる因数分解の難し目の公式です)。

因数分解できない場合

二次方程式の左辺がいつも因数分解できるとは限りません。そのような場合は、平方完成、または二次方程式の解の公式を用いて解くことになります(解の公式がオススメです)。

次:二次方程式の解の公式:問題4問
前:完全平方式の意味と例題2問

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