二次方程式の解の公式:問題4問

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$)の解は、$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

解の公式を使えばどんな二次方程式でも解くことができます。必ず覚えましょう。

例題

(1) 二次方程式 $2x^2+5x-1=0$ を解け。

答え

$a=2$、$b=5$、$c=-1$ として解の公式を用いると、
$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}\\
=\dfrac{-5\pm\sqrt{25+8}}{4}$
$=\dfrac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$

練習問題

いろいろなタイプの二次方程式を用意しました。たくさん問題を解いて解の公式を暗記しましょう。

以下の二次方程式を解け:
(2) $2x^2-4x+1=0$
(3) $-x^2+6x-9=0$
(4) $3x^2+x+2=0$

答え

(2) $a=2$、$b=-4$、$c=1$ として解の公式を用いると、
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}\\
=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{4}\\
=\dfrac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}$
(最後に約分するのを忘れないようにしましょう。)
ちなみに一次の係数が偶数の場合にはbが偶数の場合の解の公式を使うと少し計算が楽です。

(3) $a=-1$、$b=6$、$c=-9$ として解の公式を用いると、
$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot(-1)\cdot (-9)}}{2\cdot(-1)}\\
=\dfrac{-6\pm\sqrt{0}}{-2}$
$=3$
(解は一つだけ、これを重解と言う。)

(4) $a=3$、$b=1$、$c=2$ として解の公式を用いると、
$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 3\cdot 2}}{2\cdot 3}\\
=\dfrac{-1\pm\sqrt{-23}}{6}$
$=\dfrac{-1\pm\sqrt{23}i}{6}$
(実数の範囲では解なし)

ちなみに、(4) 以外は中学範囲ですが、(4) だけは高校範囲(複素数)です。

因数分解できるものは、因数分解で解いた方がはやいです!→二次方程式の例題4問

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