二次方程式の解の公式と問題4問

二次方程式とは、$2x^2+5x-1=0$ のような $ax^2+bx+c=0\:(a\neq 0)$ という形の方程式のことです。二次方程式の解は
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
となります。これを,二次方程式の解の公式と言います。

このページでは、二次方程式の解の公式について詳しく解説します。見た目は複雑ですが、二次方程式の解の公式を使えば、どんな二次方程式でも解くことができます。

解の公式を使う例題

二次方程式 $2x^2+5x-1=0$ を解いてみましょう。

$ax^2+bx+c=0$
と見比べると、$a=2$、$b=5$、$c=-1$ です。

よって、二次方程式の解の公式:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
を使うと、
$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}\\
=\dfrac{-5\pm\sqrt{25+8}}{4}$
$=\dfrac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$
となります。

bが偶数の場合

二次方程式 $2x^2-4x+1=0$ を解いてみましょう。

$a=2$、$b=-4$、$c=1$ として解の公式:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
を用いると、
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}\\
=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{4}\\
=\dfrac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}$
となります。最後に約分するのを忘れないようにしましょう。

このように、$b$ が偶数の場合でも、解の公式を使って普通に解くこともできます。ただし、bが偶数の場合の解の公式を使うと少し計算が楽です。

因数分解できる場合

二次方程式 $-x^2+6x-9=0$ を解いてみましょう。

この二次方程式は、因数分解できることに気がつけば
$-(x-3)^2=0$
$x=3$(重解)
のように解くことができます。

しかし、因数分解できることに気がつかなくても、解の公式:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
で $a=-1$、$b=6$、$c=-9$ とすれば
$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot(-1)\cdot (-9)}}{2\cdot(-1)}\\
=\dfrac{-6\pm\sqrt{0}}{-2}$
$=3$
のように解くこともできます。

もちろん、因数分解できるものは、因数分解で解いた方がはやいです!因数分解で解く二次方程式の例題4問

実数解が存在しない場合

二次方程式 $3x^2+x+2=0$ を解いてみましょう。

$a=3$、$b=1$、$c=2$ として解の公式:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
を用いると、
$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 3\cdot 2}}{2\cdot 3}\\
=\dfrac{-1\pm\sqrt{-23}}{6}$
となります。実数の範囲では解がありませんが、複素数を使うと、
$=\dfrac{-1\pm\sqrt{23}i}{6}$
のように表すことができます(高校数学の範囲です)。

解の公式の証明

最後に、解の公式の証明を解説します。式変形は長いですが、平方完成を理解していれば平方完成するだけです。

$ax^2+bx+c=0$
という二次方程式を平方完成します:
$a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=0$
$a\left\{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\right\}+c=0$
$\left\{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\right\}=-\dfrac{c}{a}$
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
$x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

次回は bが偶数の場合の解の公式 を解説します。

スポンサーリンク

スポンサーリンク

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る