一次関数について基本から分かりやすく解説

一次関数とは、
$y=2x+3$
のように、$y=ax+b$ という形で表される関係(関数)のことです。

このページでは、一次関数について基本的な知識を解説します。傾き、切片、変化の割合、変域など、一次関数に関係する用語も説明します。

一次関数の例

まずは、一次関数の簡単な例を説明します。

・お風呂に水が3リットル溜まっています。
・さらに、水を1分あたり2リットルのペースで注ぎます。

一次関数の簡単な例

このとき、$x$ 分後にお風呂にたまっている水の量を $y$ リットル とすると、
$x=0$ のとき $y=3$
$x=1$ のとき $y=5$
$x=2$ のとき $y=7$
などとなります。つまり、
$y=2x+3$
という関係式が成り立ちます。

このように、2つの変数 $x,y$ の間に、
$y=ax+b$
という関係式が成立する時、この関係を一次関数と言います。

一次関数の傾きと切片

一次関数 $y=ax+b$ に対して、
$a$ を傾き、$b$ を切片と言います。

例えば、$y=2x+3$ という一次関数について
・傾きは $2$
・切片は $3$
です。

傾きと切片の意味は、傾きと切片の意味と求め方を丁寧に解説を参照してください。

一次関数のグラフ

一次関数のグラフは直線になります。

例えば、$y=2x+3$ のグラフを書いてみましょう。

一次関数のグラフ

$x=0$ のとき $y=3$
$x=1$ のとき $y=5$
$x=2$ のとき $y=7$
などに注意してグラフを書くと、図のような直線になります。

一次関数のグラフは直線になることが分かっています。そのため、通る2点を計算して、それらを通る直線を書けばOKです。

一次関数の変域

変域とは「動ける範囲」のことです。

例えば、先ほどのお風呂の例では、水を注ぐ時間 $x$ と水の量 $y$ の間には
$y=2x+3$
という関係がありました。

ここで、水を注ぐのを、5分後にやめたとします。このとき、
$x$ の変域は $0\leq x\leq 5$
です。また、$x=0$ のとき $y=3$ で、$x=5$ のとき $y=13$ なので、
$y$ の変域は $3\leq y\leq 13$
となります。

一次関数の変域

一次関数の変域を考えるときは、変域内では実線変域外では点線のグラフを書くと分かりやすいです。

ちなみに、
$x$ の変域のことを「定義域」とも言います。
$y$ の変域のことを「値域」とも言います。

一次関数の変化の割合

「$x$ が増えたときに、$y$ がどれくらい増えるか?」という割合のことを変化の割合と言います。

つまり、
変化の割合$y$ の増加量 $\div$ $x$ の増加量
です。

例えば、$y=2x+3$ の場合、
$x$ が $0$ から $5$ に増えると、$y$ は $3$ から $13$ に増えます。つまり、$x$ の増加量は $5$$y$ の増加量は $10$ です。

よって、変化の割合は、$10\div 5=2$ となります。

変化の割合は、傾きである $2$ と一致しました。このように、一次関数 $y=ax+b$ では、変化の割合は必ず $a$ になります:
変化の割合=傾き=$a$

一次関数と比例

一次関数 $y=ax+b$ において、$b=0$ の場合、$y=ax$ となります。このような関係を特に「比例」または「比例関係」と言います。

つまり「比例」は「一次関数の特殊な場合」です。

ちなみに、$a=0$ の場合は、$y=b$ となりますが、この関係式は正確には一次関数とは言わず、定数関数と言います。

一次関数の正確な定義

一次関数とは何か? をきちんと理解するためには「一次」「関数」という言葉の理解が必要です。

「関数」とは?
「$x$ の値が決まったら $y$ の値が1つに決まる」とき「$y$ は $x$ の関数である」と言います。

「一次の」とは?
次数が1であるような多項式のことです。次数とは、$x$ がかけられている回数(の最大値)です。例えば $x^2$ は次数が2次なので、$y=x^2$ という関数は一次関数ではありません。
参考:次数の意味(単項式、多項式、特定の文字に着目)

次回は 不等号<、>、≦、≧の読み方(日本語、英語) を解説します。

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