$\displaystyle\int\sqrt{x}dx=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$
ルートxの積分
$\sqrt{x}$ を指数の形で書くと $x^{\frac{1}{2}}$ です。
また、$\alpha\neq -1$ のとき $x^{\alpha}$ の積分は $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ です。
以上２つから、$\sqrt{x}$ の積分は $\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$
つまり、$\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ であることが分かります。
置換積分を用いる方法
$\sqrt{x}$ の積分は、置換積分を用いても計算することができます。練習のためにやってみます。
$\sqrt{x}=t$ と置換すると、$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2t}$ です。
参考：平方根を含む式の微分のやり方
よって、
$\displaystyle\int \sqrt{x}dx\\
=\displaystyle\int t\cdot 2tdt\\
=\dfrac{2}{3}t^3+C\\
=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$
となります。さきほどと同じ結果が得られました！
分母にルートがある式の積分
同様に、$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ も計算することができます。
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$ なので、積分すると、
$\dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=2x^{\frac{1}{2}}$ となります。
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$
ルートの中身が一次式の場合の積分
より一般に、
$\displaystyle\int\sqrt{ax+b}dx=\dfrac{2}{3a}(ax+b)^{\frac{3}{2}}+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{ax+b}}dx=\dfrac{2}{a}\sqrt{ax+b}+C$
という積分公式が成立します。実際、右辺を合成関数の微分公式を使って計算すると左辺になることが確認できます。
また、平方根の中身が二次式になると、かなり複雑になります（いくつかパターンがあります）。
参考：√x^2+1の積分を3ステップで分かりやすく解説
次回は sin^2x、cos^2x、tan^2xの積分 を解説します。
