有理数と無理数の意味といろいろな例

有理数:整数の比で表される数。例:$2$、$0.3$、$-\frac{1}{3}$
無理数:有理数でない実数。例:$\pi$、$e$、$\sqrt{2}$

有理数とは

$2$ や $0.3$ や $-\frac{1}{3}$ のように、整数の比で表される数を有理数と言います。

~有理数の例1:整数~
例えば、整数は全て有理数です。整数 $n$ は $\dfrac{n}{1}$ という「整数の比」で表すことができるからです。

~有理数の例2:有限小数~
有限小数は全て有理数です。例えば $0.3=\dfrac{3}{10}$、$-0.47=-\dfrac{47}{100}$ というように、全ての有限小数は分数(整数の比)で表すことができるからです。
→小数を分数に直す:方法と例題

~有理数の例3:循環小数~
循環小数は全て有理数です。例えば $0.1111\cdots =\dfrac{1}{9}$、$0.191919\cdots =\dfrac{19}{99}$ というように、全ての循環小数は分数で表すことができるからです。

有理数は必ず上の3つ(整数、有限小数、循環小数)のいずれかです。

無理数とは

有理数でない実数(つまり、整数の比で表せない形の数)を無理数と言います。

有理数よりもつかみどころのない数です。

無限小数で循環しないものが無理数になります。

~無理数の例1:有名な定数~
円周率 $\pi=3.1415926535\cdots$ は循環しない無限小数なので、無理数です(無理数であることの証明はわりと難しい)。
自然対数の底 $e=2.718281828\cdots$ (高校数学で習う重要な定数)も無理数です(同じく証明は難しい)。

~無理数の例2:ルート、累乗根~
$\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ は循環しない無限小数なので、無理数です(背理法を用いて簡単に証明できます)。
同様に、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$ なども無理数です。
また、$\sqrt[3]{2}$ (2の三乗根、高校数学で習う数)も無理数です。

~無理数の例3:対数~
高校数学で習う対数でも無理数が登場します。例えば、$\log_2 3$ は無理数です。これも背理法で簡単に証明できます。

無理数と有理数の性質

・無理数と無理数の積が有理数になることがあります(例えば $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$)

・無理数の無理数乗が有理数になることがあります(例えば $2^{\log_2 3}=3$)

・有理数よりも無理数の方が圧倒的に「多い」です(多い少ないは個数ではなく濃度という概念を用いて考える)。

・無理数か有理数かすら分からない謎の定数も存在します(例えばオイラー定数)。

次:有理数と無理数の和と積について
前:中学三年生の数学カリキュラム

スポンサーリンク

スポンサーリンク

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る