有理数と無理数の意味といろいろな例

このページでは、有理数と無理数の定義と具体例について詳しく解説します。

有理数とは

例えば、$\dfrac{2}{3}$ という分数は、$2\div 3$ と同じです。つまり、整数÷整数の形で表すことができるので、有理数になります。

有理数の例

有理数の例１：整数

例えば、$2$ という数は有理数です。なぜなら、$2=\dfrac{2}{1}$ のように、整数÷整数の形で表すことができるからです。同様に、$2$ 以外も全ての整数は有理数です。

有理数の例２：有限小数

例えば $0.3$ という数は有理数です。なぜなら、$0.3=\dfrac{3}{10}$ のように、整数÷整数の形で表すことができるからです。同様に、全ての有限小数は分数（整数÷整数の形）で表すことができるので、有理数です。
→小数を分数に直す：方法と例題

有理数の例３：循環小数

例えば、$0.1111\cdots$ という循環小数（無限に $1$ が続いていく小数）は有理数でしょうか？実は、$0.1111\cdots =\dfrac{1}{9}$ のように、整数÷整数の形で表すことができるので、有理数です。実際、全ての循環小数は、分数で表すことができます。

また、有理数は必ず上の３つ（整数、有限小数、循環小数）のいずれかであることが知られています。

無理数の定義と例

無理数は、有理数よりもつかみどころのない数です。無限小数で循環しないものが無理数になります。無理数の例を見ていきましょう。

無理数の例１：ルート、累乗根

$\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ は循環しない無限小数なので、無理数です（背理法を用いて簡単に証明できます）。
同様に、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$ なども無理数です。
また、$\sqrt[3]{2}$ （2の三乗根、高校数学で習う数）も無理数です。

無理数の例２：対数

高校数学で習う対数でも無理数が登場します。例えば、$\log_2 3$ は無理数です。これも背理法で簡単に証明できます。

無理数の例３：有名な定数

円周率 $\pi=3.1415926535\cdots$ は循環しない無限小数なので、無理数です。ただし、円周率が無理数であることの証明はわりと難しいです。
また、高校数学で習う定数である、自然対数の底 $e=2.718281828\cdots$ も無理数です。

無理数と有理数の性質

・無理数と無理数の積が有理数になることがあります（例えば $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$）

・無理数の無理数乗が有理数になることがあります（例えば $2^{\log_2 3}=3$）

・有理数よりも無理数の方が圧倒的に「多い」です（多い少ないは個数ではなく濃度という概念を用いて考える）。

・無理数か有理数かすら分からない謎の定数も存在します（例えばオイラー定数）。

次回は 有理数と無理数の和と積について を解説します。