有理数と無理数の和と積について

有理数と無理数の和

有理数 $\dfrac{p}{q}$（$p$ と $q$ は整数）と無理数 $r$ の和 $\dfrac{p}{q}+r$ について考えます。

もし、これが有理数だと仮定すると、整数 $m$、$n$ を用いて
$\dfrac{p}{q}+r=\dfrac{m}{n}$
と表すことができます。これを変形すると、
$r=\dfrac{m}{n}-\dfrac{p}{q}\\
=\dfrac{mq-np}{nq}$
となり、$r$ が無理数であることに矛盾します。

よって、背理法により有理数と無理数の和は無理数であることがわかりました。

有理数と無理数の積

有理数と無理数の積は、有理数になることも無理数になることもあります：
$0\times \sqrt{2}=0$（有理数）
$1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}$（無理数）

これを背理法で証明してみます。

有理数 $\dfrac{p}{q}$（$p$ と $q$ は整数、$p\neq 0$）と無理数 $r$ の積 $\dfrac{p}{q}\times r$ について考えます。

もし、これが有理数だと仮定すると、整数 $m$、$n$ を用いて
$\dfrac{p}{q}\times r=\dfrac{m}{n}$
と表すことができます。これを変形すると、
$r=\dfrac{mq}{np}$
となり、$r$ が無理数であることに矛盾します。

無理数と無理数の和と積

無理数＋無理数はどっちになることもあります：
$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$（有理数）
$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$（無理数）

無理数×無理数もどっちになることもあります：
$\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$（有理数）
$\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}$（無理数）

次回は 実数の意味と例（0、負の数、…）および実数でないものの例 を解説します。