最終更新日 2017/11/12
内角の和が $x^{\circ}$ であるのは、$\left(\dfrac{x}{180}+2\right)$ 角形
内角の和から、多角形の辺の数を求める方法を解説します。
例題
内角の和が $1080^{\circ}$ であるのは何角形なのかを求めてみましょう。
$n$ 角形は、$(n-2)$ 個の三角形に分割できるので、内角の和は $180(n-2)^{\circ}$ です。
（詳しくは、多角形の内角の和の公式を３通りの方法で証明する を参照してください。）
よって、内角の和が $1080^{\circ}$ になる多角形を $n$ 角形とすると、
$180(n-2)=1080$
となります。
これを変形していくと、
$180n-360=1080$
$180n=1080+360$
$180n=1440$
$n=8$
となります。
一覧表
多角形の内角の和について、一覧表にまとめました。ついでに対角線の本数も記載しました。
なお、対角線の本数については、多角形の対角線の本数を求める公式で詳しく説明しています。
| 内角の和 | 対角線の本数 | |
| 三角形 | $180^{\circ}$ | ０本 |
| 四角形 | $360^{\circ}$ | ２本 |
| 五角形 | $540^{\circ}$ | ５本 |
| 六角形 | $720^{\circ}$ | ９本 |
| 七角形 | $900^{\circ}$ | １４本 |
| 八角形 | $1080^{\circ}$ | ２０本 |
| 九角形 | $1260^{\circ}$ | ２７本 |
| 十角形 | $1440^{\circ}$ | ３５本 |
| 11角形 | $1620^{\circ}$ | ４４本 |
| 12角形 | $1800^{\circ}$ | ５４本 |
| 13角形 | $1980^{\circ}$ | ６５本 |
| 14角形 | $2160^{\circ}$ | ７７本 |
| 15角形 | $2340^{\circ}$ | ９０本 |
| 16角形 | $2520^{\circ}$ | １０４本 |
| 17角形 | $2700^{\circ}$ | １１９本 |
| 18角形 | $2880^{\circ}$ | １３５本 |
| 19角形 | $3060^{\circ}$ | １５２本 |
| 20角形 | $3240^{\circ}$ | １７０本 |
上の表を見ても、内角の和が $1080^{\circ}$ であるのが八角形であることが分かります。
一般的な公式
内角の和が $x^{\circ}$ であるのは何角形でしょうか？
$n$ 角形の内角の和が $x^{\circ}$ であるとき、
$180(n-2)=x$
です。これを $n$ について解いていきます：
$180n-360=x$
$180n=x+360$
$n=\dfrac{x}{180}+2$
よって、内角の和が $x^{\circ}$ であるのは、$\left(\dfrac{x}{180}+2\right)$ 角形であることが分かりました。
次回は 正四角錐の定義、展開図、表面積、体積 を解説します。
