内角の和から多角形を求める方法と一覧表

内角の和が $x^{\circ}$ であるのは、$\left(\dfrac{x}{180}+2\right)$ 角形

内角の和から、多角形の辺の数を求める方法を解説します。

例題

内角の和が $1080^{\circ}$ であるのは何角形なのかを求めてみましょう。

$n$ 角形は、$(n-2)$ 個の三角形に分割できるので、内角の和は $180(n-2)^{\circ}$ です。

多角形の内角の和

(詳しくは、多角形の内角の和の公式を3通りの方法で証明する を参照してください。)

よって、内角の和が $1080^{\circ}$ になる多角形を $n$ 角形とすると、
$180(n-2)=1080$
となります。

これを変形していくと、
$180n-360=1080$
$180n=1080+360$
$180n=1440$
$n=8$
となります。

一覧表

多角形の内角の和について、一覧表にまとめました。ついでに対角線の本数も記載しました。
なお、対角線の本数については、多角形の対角線の本数を求める公式で詳しく説明しています。

内角の和 対角線の本数
三角形 $180^{\circ}$ 0本
四角形 $360^{\circ}$ 2本
五角形 $540^{\circ}$ 5本
六角形 $720^{\circ}$ 9本
七角形 $900^{\circ}$ 14本
八角形 $1080^{\circ}$ 20本
九角形 $1260^{\circ}$ 27本
十角形 $1440^{\circ}$ 35本
11角形 $1620^{\circ}$ 44本
12角形 $1800^{\circ}$ 54本
13角形 $1980^{\circ}$ 65本
14角形 $2160^{\circ}$ 77本
15角形 $2340^{\circ}$ 90本
16角形 $2520^{\circ}$ 104本
17角形 $2700^{\circ}$ 119本
18角形 $2880^{\circ}$ 135本
19角形 $3060^{\circ}$ 152本
20角形 $3240^{\circ}$ 170本
上の表を見ても、内角の和が $1080^{\circ}$ であるのが八角形であることが分かります。

一般的な公式

内角の和が $x^{\circ}$ であるのは何角形でしょうか?

$n$ 角形の内角の和が $x^{\circ}$ であるとき、
$180(n-2)=x$
です。これを $n$ について解いていきます:
$180n-360=x$
$180n=x+360$
$n=\dfrac{x}{180}+2$

よって、内角の和が $x^{\circ}$ であるのは、$\left(\dfrac{x}{180}+2\right)$ 角形であることが分かりました。

次:正四角錐の定義、展開図、表面積、体積
前:平行四辺形の3つの性質とその証明

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