多角形の対角線の本数を求める公式

$n$ 角形の対角線の本数は、$\dfrac{1}{2}n(n-3)$ 本

~目次~
・具体例
・公式が成り立つ理由
・対角線の本数から何角形か求める

具体例

例題1:四角形、六角形、八角形の対角線の本数をそれぞれ計算せよ。

解答

四角形は、公式で $n=4$ とすると、
$\dfrac{1}{2}\times 4\times(4-3)=2$ 本

六角形は、公式で $n=6$ とすると、
$\dfrac{1}{2}\times 6\times(6-3)=9$ 本
(実際に9本あることを図で確認してみてください!)

多角形の対角線の本数

八角形は、公式で $n=8$ とすると、
$\dfrac{1}{2}\times 8\times(8-3)=20$ 本

※四角形や六角形なら図をかいて数えればよいですが、八角形などとなると、公式を使わないと大変です。

公式が成り立つ理由

対角線が $\dfrac{1}{2}n(n-3)$ 本となる理由を説明します。

対角線の本数の証明

特定の頂点から対角線は $(n-3)$ 本引けます(自分と自分の隣以外の頂点は $(n-3)$ 個だから)。頂点は、$n$ 個あるので、のべ $n(n-3)$ 本の対角線を考えることができます。

ただし、これだと一本の対角線は2回カウントされてしまうので、これを $2$ で割ったものが対角線の本数になります:
$n(n-3)\div 2=\dfrac{1}{2}n(n-3)$

余談:上記のような組合せの考え方ではなく、高校数学で学ぶ漸化式というものを使って証明することもできます。

対角線の本数から何角形か求める

対角線の本数から何角形かを求める問題もときどき見かけます。

例題2:ある多角形の対角線の本数は $35$ 本であった。この多角形は何角形か?

解答

対角線の本数:$\dfrac{1}{2}n(n-3)$ が $35$ と等しいので、

$\dfrac{1}{2}n(n-3)=35$

これを整理すると、
$n(n-3)=70$
$n^2-3n-70=0$
$(n-10)(n+7)=0$
$n=10,-7$
→二次方程式の例題4問

ここで、$n$ は正なので、$n=10$ です。つまり、答えは十角形ということになります。

次:正弦定理を使う例題2問と証明
前:正六角形の面積(計算ツール、公式の導出)

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