多角形の内角の和の公式を3通りの方法で証明する

$n$ 角形の内角の和は、$180\times (n-2)$ 度

例えば、
三角形の内角の和は、$180\times (3-2)=180^{\circ}$
四角形の内角の和は、$180\times (4-2)=360^{\circ}$
五角形の内角の和は、$180\times (5-2)=540^{\circ}$
六角形の内角の和は、$180\times (6-2)=720^{\circ}$
です。

証明1:三角形に分割する

内角の和の公式を証明してみましょう。

図のように $n$ 角形の1つの頂点から、対角線をたくさん引くことによって、$n$ 角形を $(n-2)$ 個の三角形に分割することができます。図は $n=6$ の場合で、三角形は4つです。

多角形の内角の和
なぜ $(n-2)$ 個になるのか??
注目した頂点その右どなりの頂点以外の頂点は $(n-2)$ 個ありますが、それぞれに三角形1つを対応させることができるので、三角形の数は $(n-2)$ 個です。

n-2個になる理由

三角形の内角の和は $180^{\circ}$ なので、
$n$ 角形の内角の和は、三角形 $(n-2)$ 個ぶん、つまり、
$180\times (n-2)^{\circ}$ となります。

証明2:中心に点をうつ

図のように $n$ 角形の中央付近に点を打ち、頂点全てと線で結びます。すると、三角形が $n$ 個できます。

別の分割方法

この三角形の内角の和を全て足しあげると、
$180\times n$ となります。

しかし、この計算には、中央の一周ぶんの余分な角度も含まれているので、$360^{\circ}$ を引く必要があります。

結局、$n$ 角形の内角の和は、
$180n-360=180(n-2)^{\circ}$
となります。

証明3:数学的帰納法

小学生、中学生は上の2つの方法を理解すれば十分です。高校生で習う数学的帰納法というものを使った証明も紹介しておきます。

三角形の内角の和が $180^{\circ}$ であることは認めてしまいます。

内角の和の公式を帰納法で証明

$k$ 角形の内角の和が $180(k-2)^{\circ}$ だと仮定すると、
$(k+1)$ 角形の内角の和は、
(図のように $k$ 角形と三角形に分割できるので)
$180(k-2)+180=180\{(k+1)-2\}$
となります。

つまり、$k$ 角形で公式が正しければ、$(k+1)$ 角形でも公式が正しいことが分かりました。よって、数学的帰納法により、公式が証明されました。

関連

四角形の場合は、平行線の錯角を使ったおもしろい証明方法もあります。
→四角形の内角の和が360°であることの2通りの証明

この公式を使って、正多角形の内角と外角の大きさを求めることができます。
→正多角形の内角と外角の大きさ

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