第一宇宙速度と第二宇宙速度の意味と導出

第一宇宙速度と第二宇宙速度について、意味や計算式の導出方法を解説します。

第一宇宙速度とは

地球上の表面（海抜0メートル）で物を投げる（例えば、ロケットを打ち出す）と、普通は重力によって落ちてきます。

しかし、ある速さ以上で物を投げると、落ちてきません。具体的には、秒速 $7.9\:\mathrm{km}$（時速 $28400\:\mathrm{km}$）以上の速さで物を水平方向に投げると、地球上の表面を周り続けて、落ちてきません(※)。この限界ギリギリの速度（秒速およそ $7.9\:\mathrm{km}$）のことを、第一宇宙速度と言います。

※宇宙速度について考えるときは、一般的に空気抵抗を無視して考えます。このページでも空気抵抗は無視しています。

第二宇宙速度とは

第一宇宙速度より速い速さで物を投げると、地球に戻ってきませんが、地球のまわりを楕円を描くようにぐるぐる回る場合もあります。

しかし、さらに速い速さで物を投げると、地球からどこまでも遠くに飛んでいきます。この状況を「地球の重力を振り切る」と言うことにします。具体的には、秒速 $11.2\:\mathrm{km}$（時速 $40300\:\mathrm{km}$）以上の速さで物を投げると、地球の重力を振り切ります。この限界ギリギリの速度（秒速およそ $11.2\:\mathrm{km}$）のことを、第二宇宙速度と言います。

第一宇宙速度の計算式

ただし、$G$ は万有引力定数、$M$ は地球の質量、$R$ は地球の半径です。

第一宇宙速度の計算式の導出：
投げる物体の質量を $m$ とします。
第一宇宙速度で打ち出された物体は、地球の表面ギリギリを等速円運動します。

円運動するときに加わる遠心力は、
$m\dfrac{v_1^2}{R}$
です。遠心力の意味と計算する3つの公式【証明つき】

一方、地球による重力の大きさは、
$\dfrac{GMm}{R^2}$
です。

この2つの力が釣り合うので、
$m\dfrac{v_1^2}{R}=\dfrac{GMm}{R^2}$
が成立します。

これを $v_1$ について解くと、$v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$ が分かります。実際に、$G,M,R$ の値を入れて計算すると、$v_2\fallingdotseq 7.9\:\mathrm{km/s}$ となります。

第二宇宙速度の計算式

第二宇宙速度は、第一宇宙速度のちょうど $\sqrt{2}$ 倍というのがおもしろいです。

第二宇宙速度の計算式の導出：
投げる物体の質量を $m$ とします。初速 $v$ で投げ出された瞬間の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}mv^2$
です。

また、同じ瞬間における、地球の重力による位置エネルギーは、
$-\dfrac{GMm}{R}$
です。

運動エネルギーと位置エネルギーの和が $0$ 以上のとき、地球の重力を振り切ることになるので、第二宇宙速度 $v_2$ は
$\dfrac{1}{2}mv_2^2=\dfrac{GMm}{R}$
を満たします。

これを $v_2$ について解くと、$v_2=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$ が分かります。実際に、$G,M,R$ の値を入れて計算すると、$v_2\fallingdotseq 11.2\:\mathrm{km/s}$ となります。

なお、第一宇宙速度、第二宇宙速度の計算式は、地球以外の他の天体（月など）でも成立します。

次回は 運動量と力積の意味と関係を図で分かりやすく説明 を解説します。