定義域、値域、変域の意味と求め方

定義域、値域の意味

関数 $y=f(x)$ について、
$x$ がとりうる値の範囲のことを定義域
$y$ がとりうる値の範囲のことを値域
と言います。
また、定義域と値域を合わせて変域と言います。

値域は「ちいき」と読みます。

一次関数の例題

定義域、値域に関する問題では、関数のグラフを書くようにしましょう。

$y=2x-2\:(1\leq x\leq 3)$ という一次関数の値域を求めてみましょう。

解答

定義域は $1\leq x\leq 3$ です。
この範囲で、$y=2x-2$ のグラフを書いてみると、図のようになります。

一次関数の定義域と値域

$x=1$ のとき $y=0$
$x=3$ のとき $y=4$
です。よって $y$ のとりうる値の範囲は $0\leq y\leq 4$ です。
つまり、値域は $0\leq y\leq 4$ です。

二次関数の例題

次は、二次関数の最大値・最小値に関連した高校数学レベルの問題です。

二次関数 $y=-2x^2+12x-3\:(0< x\leq 4)$ における値域を求めてみましょう。

まずは、グラフを書くために、平方完成します:
$y=-2(x^2-6x)-3$
$y=-2(x^2-6x+9-9)-3$
$y=-2(x-3)^2+15$

よって、頂点が $(3,15)$ になることに注意してグラフを書くと、図のようになります。

範囲が指定されている場合2

グラフの両端は $(0,-3)$、$(4,13)$ です。ただし、$(0,-3)$ はギリギリ範囲の外です。

よって、値域は、$-3< y\leq 15$ です。

関連:二次関数の最大値と最小値を求める問題4問

まとめ

定義域、値域の意味

定義域:入力 $x$ のとりうる値の範囲
値域:出力 $y$ のとりうる値の範囲
変域:定義域と値域を合わせて変域と呼ぶ
・一次関数でも、二次関数でも、より複雑な関数でも、グラフを書くことで、変域を求めることができる。

次:二次関数の最大値と最小値を求める問題4問
前:因数定理の意味と因数の見つけ方

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