水温の計算(異なる温度の水の混合)

異なる温度の水を混ぜでできる水の温度を計算する公式と計算の例を解説します。

質量が同じ場合の水温

2つの水の量が同じ場合、混ぜた後の水温はもとの2つの水温の平均になります。

例えば、$10$ 度のお水と $50$ 度のお湯をそれぞれ $100$ グラムとって混ぜると、$\dfrac{10+50}{2}=30$ 度になります。

※容器や空気との熱のやりとりは発生しないものと仮定しています。実際は、空気や容器とも熱のやりとりがあるため、計算値から少しズレることがあります。以下も同様です。

質量が異なる場合の水温

一般に、$T_1$ 度の水 $m_1$ グラムと、$T_2$ 度の水 $m_2$ グラムを混ぜてできる水の温度 $T$ は、
$T=\dfrac{T_1m_1+T_2m_2}{m_1+m_2}$
度になります。

例えば、$30$ 度のお水 $100$ グラムと、$45$ 度のお湯 $200$ グラムを混ぜてできる水の温度は、
$\dfrac{30\cdot 100+45\cdot 200}{100+200}\\
=\dfrac{3000+9000}{300}\\
=40$
度となります。

公式の証明

$T=\dfrac{T_1m_1+T_2m_2}{m_1+m_2}$
という公式を証明してみましょう。

水の比熱を $C$ とします。$T_1$ 度だった水が $T$ 度になるときに放出する熱量は、
$m_1C(T-T_1)$
です。一方、$T$ 度だった水が $T_2$ 度になるときに吸収する熱量は、
$m_2C(T_2-T)$
です。これらが等しいので、
$m_1(T-T_1)=m_2(T_2-T)$
となります。これを整理して $T$ について解くと、
$m_1T-m_1T_1=m_2T_2-m_2T$
$(m_1+m_2)T=m_1T_1+m_2T_2$
$T=\dfrac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2}$
となります。

さらに理解を深める

「加重平均」という数学の道具を知っている人は、混合後の水温の公式が覚えやすいです。

つまり、混合後の水温
$T=\dfrac{T_1m_1+T_2m_2}{m_1+m_2}$
は、混合前の水温 $T_1,T_2$ の加重平均になっています(重みは $m_1,m_2$)。

加重平均については、加重平均(重みつき平均)の例と意味で解説しています。

次回は 全反射の意味と条件、臨界角の計算方法 を解説します。

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