相乗平均の意味、図形的イメージ、活躍する例

2つの $0$ 以上の数 $a$、$b$ に対して、$\sqrt{ab}$ を相乗平均(または幾何平均)と言う。

具体例、相加平均との関係

かけ算してルートを取ったのが相乗平均です。

例えば、2つの数 $3$ と $12$ に対して、相乗平均は、$\sqrt{3\times 12}=\sqrt{36}=6$ となります。

一方、相加平均(算術平均、いわゆる普通の平均) は $\dfrac{3+12}{2}=7.5$ です。このように、相加平均は、必ず相乗平均の値以上になります。つまり、$\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$ が成立します。→相加平均、相乗平均の不等式の意味と使い方

図形的な意味

相乗平均はルートが入ってくるので、相加平均よりイメージしにくいですが、図形的に理解することができます。

~相乗平均を図示する3ステップ~

相乗平均のイメージ

手順1:長さ $a$ の線分 $PX$、長さ $b$ の線分 $XQ$ をつなげて書きます。
手順2:$PQ$ を直径とする円を書きます。
手順3:$X$ を通り $PQ$ と垂直な直線と円の交点を $Y$ とします。線分 $XY$ の長さが、相乗平均 $\sqrt{ab}$ になります。

$XY$ が相乗平均になっていることをきちんと証明してみます。
証明の図

方べきの定理を使うと、$XY\times ZX=PX\times XQ=ab$ が分かります。$XY=ZX$ なので、$XY^2=ab$ つまり、$XY=\sqrt{ab}$ となります。

活躍する例

日常生活で「平均」と言うとたいてい相加平均です。しかし、相乗平均の方がふさわしい場面もあります。

例題:$100$ 円だった物の価値が、1年目は $2$ %上がった。2年目は $18$ %上がった。この物の価値は年間平均何%上がったと言えるか?

この物の現在の価値は、$100\times 1.02\times 1.18=120.36$ 円になります。

平均成長率は、$\dfrac{2+18}{2}=10$ %と言いたくなります。しかし、もし、$100$ 円のものが2年とも $10$ %で成長した場合。現在の価値は、$100\times 1.1\times 1.1=121$ 円です。$120.36$ 円とは微妙にずれています。これでは平均とは言えません。

正しくは、2年間の成長率の相乗平均:$\sqrt{1.02\times 1.18}\simeq 9.71$ %が平均成長率になります。実際、2年とも $9.71$%で成長した場合、$100\times 1.0971\times 1.0971\simeq 120.36$ 円になります。

このように、成長率、利回りをなどを考えるときは、相乗平均が適しています。

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