繁分数式の問題と2通りの解き方

$\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$ のように、分数式の分母や分子に、さらに分数式が入っているようなものを繁分数式と言う。

繁分数式の読み方は「はんぶんすうしき」です。

基本問題

例題1:繁分数式 $\dfrac{1+\frac{1}{x-1}}{1+\frac{2}{x-1}}$ を簡単な形に変形せよ。

解答1

分母と分子に同じものをかけても分数としては変わらないことを利用します。

分母と分子に $x-1$ をかけると、
$\dfrac{(1+\frac{1}{x-1})\times(x-1)}{(1+\frac{2}{x-1})\times(x-1)}\\
=\dfrac{x-1+1}{x-1+2}\\
=\dfrac{x}{x+1}$

解答2

大きな分数の分子と分母をそれぞれ計算するやり方もあります。

分子は $1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$
分母は $1+\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}$
なので、

$\dfrac{1+\frac{1}{x-1}}{1+\frac{2}{x-1}}\\
=\dfrac{x}{x-1}\div\dfrac{x+1}{x-1}\\
=\dfrac{x}{x-1}\times\dfrac{x-1}{x+1}\\
=\dfrac{x}{x+1}$

($\div \dfrac{b}{a}$ は $\times\dfrac{a}{b}$ と考えましょう。)

もう一問

次は、分数の分数の分数です!

例題2:繁分数式 $\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}}$ を簡単な形に変形せよ。

解答1

いきなり大きな分数を考えるのは大変なので、まずは、分母の右側
$\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}$
について考えます。これは分母と分子に $x+1$ をかけることで、
$\dfrac{x+1}{x^2+x+1}$
となることが分かります。よって、もとの分数は
$\dfrac{1}{x+\dfrac{x+1}{x^2+x+1}}$
となります。この分母と分子に $x^2+x+1$ をかけると、
$\dfrac{x^2+x+1}{x(x^2+x+1)+(x+1)}\\
=\dfrac{x^2+x+1}{x^3+x^2+2x+1}$
となります。

解答2

$\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}}$
の1番下側の分数を計算すると、
$\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{\frac{x(x+1)+1}{x+1}}}$
となります。これは
$\dfrac{1}{x+\dfrac{x+1}{x(x+1)+1}}\\
=\dfrac{1}{x+\dfrac{x+1}{x^2+x+1}}$
となります。さらに分母を計算して整理すると、
$\dfrac{1}{\frac{x(x^2+x+1)+x+1}{x^2+x+1}}\\
=\dfrac{x^2+x+1}{x^3+x^2+2x+1}$
となります。

補足、まめ知識

「繁分数」という言葉と「連分数」という言葉はほとんど同じ意味で使われることもありますが、微妙に意味が違います。

繁分数の中でも $a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\cdots}}}$ のような形のものを連分数と呼びます。繁分数式という言葉はときどき使いますが、連分数式という言葉は聞いたことがありません。

次:複素数の偏角の求め方と公式
前:相乗平均(幾何平均)の意味、図形的イメージ、活躍する例

スポンサーリンク

スポンサーリンク

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る