垂直二等分線の意味と作図方法を分かりやすく解説

垂直二等分線の定義と作図方法を詳しく解説します。

垂直二等分線とは

まず、垂直二等分線の定義を説明します。

線分 $AB$ に対して、
・それと垂直であり
・中点を通る(つまり、二等分する)
ような直線のことを垂直二等分線と言います。

垂直二等分線の定義

垂直二等分線の作図方法

線分 $AB$ が与えられたときに、その垂直二等分線を作図する方法を解説します。

手順1.コンパスを使って $A$ を中心に、円を書く

作図の手順1

手順2.コンパスを使って $B$ を中心に、手順1と同じ半径の円を書く(※)
※2つの円が2点で交わるようなサイズの円を書きましょう。
※また、2つの円の交点さえ分かればよいので、円全体を書かなくても、一部分だけでもOKです。

作図の手順2

手順3.2つの円の交点が2つできる。定規を使ってこの2つの点を通る直線を引くと、垂直二等分線となる。

作図の手順3

垂直二等分線の作図は、作図問題の中でも最も基本的なものの1つです。しっかりマスターしましょう。

上記の作図方法が正しい理由

垂直二等分線の作図方法が正しいことをもう少し詳しく説明します。
作図の正しさの証明

手順1と手順2で書いた2つの円の交点を $C,D$ とします。

2つの円は同じ半径なので、
$AC=AD=BC=BD$
が成立します。つまり、四角形 $ACBD$ は4つの辺の長さが全て等しいので、ひし形になります。

・ひし形は2本の対角線が垂直に交わります。つまり、$CD$ は $AB$ に垂直となります。
・ひし形は平行四辺形なので、対角線は中点で交わります。つまり、$CD$ は $AB$ の中点を通ります。
以上2つのことから、$CD$ は $AB$ の垂直二等分線になっていることが分かります。

関連:平行四辺形、ひし形、長方形、正方形の違い

垂直二等分線の練習問題

垂直二等分線の作図に関して、とてもよい練習問題を紹介します。

まず、適当に三角形 $ABC$ を書きます。
次に、$AB$ の垂直二等分線を作図します。
次に、$BC$ の垂直二等分線を作図します。
次に、$CA$ の垂直二等分線を作図します。
すると、うまく作図できていれば、3つの垂直二等分線は1点で交わります。

実際に作図して確認してみてください。

このように、どんな三角形に対しても、その3つの辺の垂直二等分線は1点で交わります。この点を三角形の外心と言います。

次回は 垂直二等分線の方程式の求め方を2通り解説 を解説します。

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