指数関数の知識全5項目を整理(具体例からグラフまで)

$y=a^x$ という式で表される関数を指数関数と言います。

このページでは、指数関数の基本的な知識をまとめました。
指数関数の意味身近な例$x$ が整数でない場合の指数関数の値指数関数のグラフ定義域と値域という5つの項目について解説します。

1.指数関数とは

指数関数とは、$y=2^x$ のように、$y=a^x$ という式で表せるような関数のことです。($a$ は $1$ ではない正の数とします)

例えば、$y=2^x$ という指数関数について、
・$x=1$ とすると、$y=2^1=2$
・$x=2$ とすると、$y=2^2=4$
・$x=3$ とすると、$y=2^3=8$
・$x=4$ とすると、$y=2^4=16$
となります。

このように、指数関数では、$x$ が少し増えると $y$ がものすごい勢いで増えていくという性質があります。そのため「ものすごい増え方」のことを、指数関数的な増加と呼ぶことがあります。
関連:「指数的に増加」「指数関数的に増加」の意味

2.指数関数の身近な例

指数関数の身近な例として、折り紙が挙げられます。

折り紙を何回も半分に折っていき、積み重なった紙の枚数を数えてきましょう。
・1回折ったときは2枚
・2回折ったときは4枚
・3回折ったときは8枚
となります。このように、$x$ 回折ったときの枚数を $y$ とすると、$y=2^x$ となります。指数関数が登場しました。

このように、指数関数は、倍々に増えていくような現象を表現するのに使えます。

3.$x$ が整数でないとき

$y=2^x$ という指数関数について、$x$ が整数でないときには $y$ はどんな値になるでしょうか?

・$x=\dfrac{1}{n}$ の場合
例えば $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$、$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$ のように、$\dfrac{1}{n}$ が肩に載っているような指数は、$n$ 乗根で定義されます。
つまり、$x=\dfrac{1}{n}$ のとき、$y=\sqrt[n]{2}$ となります。

・$x=\dfrac{m}{n}$ の場合
有理数乗については、$2^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{m}$ のように定義されます。
例えば、$x=\dfrac{3}{4}$ のとき、$y=\sqrt[4]{3}$ となります。

・$x$ が無理数の場合
無理数乗については、有理数乗の極限として定義されます。例えば、$x=\pi=3.1415\dots$ のときには、$2^3$、$2^{3.1}$、$2^{3.14}$ と順々に計算していき、近づいていく値のことを $2^{\pi}$ と定めます。

4.指数関数のグラフ

$a$ が $1$ より大きいとき、$y=a^x$ のグラフは、赤い曲線のようになります。

指数関数のグラフ

ポイントは、以下の4つです。
・$x=0$ のとき、$y=1$ となる
・$x=1$ のとき、$y=a$ となる
右側ではものすごい勢いで増えていく
左側では $0$ に近づいていく

$a$ が $1$ より小さいとき、$y=a^x$ のグラフは、青い曲線のようになります。
ポイントは、以下の4つです。
・$x=0$ のとき、$y=1$ となる
・$x=1$ のとき、$y=a$ となる
左側ではものすごい勢いで増えていく
右側では $0$ に近づいていく

5.指数関数の定義域、値域

指数関数 $y=a^x$ の定義域、値域(変域)について考えてみましょう。

指数関数のグラフからも分かるように、

・$y=a^x$ の定義域は、実数全体となります。
・$y=a^x$ の値域は、$y>0$ となります。

次回は 対数計算の公式一覧(基礎5個+発展4個) を解説します。

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